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Intégrale définie assez curieuse



  1. #1
    Bleyblue

    Intégrale définie assez curieuse


    ------

    Bonjour,

    Je cherche la valeur de :



    Selon mon livre d'analyse cela fait zéro mais je ne comprend pas pourquoi.

    Il est vain d'essayer de trouver une primitive et moi la seule idée que j'ai eue c'est de poser :



    de manière à se ramener à une intégration de - a à a et alors si la fonction obtenue après changement de variable est impaire l'intégrale vaut zéro mais malheureusement ce n'est pas le cas.

    Avez-vous une idée ? Je ne vois pas la ...

    merci

    -----

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  3. #2
    Evil.Saien

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Bonjour,

    Je cherche la valeur de :

    Corrige moi si je me trompe:


    D'où (et c'est là où je suis plus sur, je prend la puissance 21 des deux côtés):

    Ensuite suffit de developper...
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  4. #3
    Evil.Saien

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Argh...

    Faudrait remplacer les = par des ?= pour etre plus correcte !
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  5. #4
    martini_bird

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    D'où (et c'est là où je suis plus sur, je prend la puissance 21 des deux côtés):
    Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier alu...
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Salut,

    en fait, il suffit de remarquer que les fonctions et (définies sur [0, 1]) sont réciproques l'une de l'autre.

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 21/02/2006 à 07h10.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  8. #6
    Evil.Saien

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Citation Envoyé par martini_bird
    Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier alu...
    Je me souviens encore la fougue qui m'animait lors du postage...
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Ah mais oui pas bête ça.
    Je pensais que je commençais à bien les connaîtres mes petites intégrales mais j'en apprend tous les jours décidément

    Et si donc f est continue sur [a,b] la proprité suivante est valable dans tous les cas :



    ?

    Sinon :

    Citation Envoyé par martini_bird
    Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier alu...
    comment ça ? Ca n'a sans doute aucune importance mais j'aimerai comprendre ce que tu as voulut dire

    merci

  11. #8
    Eric78

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Bah on n'a pas (int(f))^n=int(f^n)! (Désolé, je ne gère pas en Latex...)
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  12. #9
    nissart7831

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Ah mais oui pas bête ça.
    Je pensais que je commençais à bien les connaîtres mes petites intégrales mais j'en apprend tous les jours décidément

    Et si donc f est continue sur [a,b] la proprité suivante est valable dans tous les cas :



    ?
    A mon avis, c'est faux en général. En tout cas, ce n'est pas une propriété.
    Prends f(x) = x², donc f-1(x) = sur [0,1]. Alors :



    D'ailleurs, ça a du m'échapper mais, même si la remarque de martini_bird est vraie, je ne vois pas en quoi elle permet de conclure que l'intégrale est nulle. Merci de m'éclairer.

  13. #10
    zinia

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Bonsoir,

    Si tu fais un dessin, tu verras que selon l'allure des fonctions on a soit l'égalité des intégrales (continue décroissante) soit leur somme égale à 1 (continue croissante). Ton exemple vérifie bien cette seconde propriété.

    En outre la propriété n'est vraie que sur un intervalle [0,a] avec [f(a)=0 et f(0)=a] ou [f(a)=a et f(0)=0]

  14. #11
    Evil.Saien

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    J'ai evalue cette integrale a la calculette, je trouve un truc assez loin de l'ordre du 10^-6... Ce qui est tres largement au dessus de la resolution de la calculette... Selon moi (et ma claculette), cette integrale n'est pas egale a 0. Par exemple, j'ai fait

    et je trouve un ordre de 10^-20
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  15. #12
    Evil.Saien

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    En reflechissant, c'est bizzare que je trouve ca... Probablement une erreur c'est glissee dans ma calculette !
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

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  17. #13
    nissart7831

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Citation Envoyé par zinia
    Bonsoir,

    Si tu fais un dessin, tu verras que selon l'allure des fonctions on a soit l'égalité des intégrales (continue décroissante) soit leur somme égale à 1 (continue croissante). Ton exemple vérifie bien cette seconde propriété.

    En outre la propriété n'est vraie que sur un intervalle [0,a] avec [f(a)=0 et f(0)=a] ou [f(a)=a et f(0)=0]

    OK, merci.
    Mais je serai plus convaincu par une démonstration.

  18. #14
    Evil.Saien

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Ok, j'ai vu la faute...
    C'est corrige, mais maintenant ca donne du 10^-5...
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  19. #15
    nissart7831

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    J'ai evalue cette integrale a la calculette, je trouve un truc assez loin de l'ordre du 10^-6... Ce qui est tres largement au dessus de la resolution de la calculette... Selon moi (et ma claculette), cette integrale n'est pas egale a 0. Par exemple, j'ai fait

    et je trouve un ordre de 10^-20
    Pourquoi fais tu ça ? x10 n'est pas la fonction réciproque de x9 !

  20. #16
    matthias

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Citation Envoyé par nissart7831
    Mais je serai plus convaincu par une démonstration.
    Il suffit de faire un changement de variable y=f(x) et une intégration par partie assez évidente. Avec la formule de dérivation de la réciproque ça se fait bien.

  21. #17
    homotopie

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    à Zinia et Martini_bird, beau coup d'oeil et preuve très élégante.
    Avec le dessin ce n'est pas difficile de faire une démo en bonne et due forme sans changement de variables (pour garder la généralité des fonctions continues). Quand on coupe une zone en deux, on a toujours la zone des deux petites aires égale la grande non? Et une isométrie conserve les aires, je crois.

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    J'ai evalue cette integrale a la calculette, je trouve un truc assez loin de l'ordre du 10^-6... Ce qui est tres largement au dessus de la resolution de la calculette... Selon moi (et ma claculette), cette integrale n'est pas egale a 0. Par exemple, j'ai fait

    et je trouve un ordre de 10^-20
    Et la marmotte emballe le chocolat*
    Vue l'allure des graphes de ces fonctions et de leur expression, ce n'est pas étonnant qu'une calculette s'y casse les puces.

    *: ma version locale de la reprise de cette vieille pub. Ah, ces Jeunes...
    Dernière modification par homotopie ; 21/02/2006 à 23h34.

  22. #18
    matthias

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Dans le cas général, on obtient ceci (si je n'ai pas fais d'erreur) :



    Mais c'est mieux avec un dessin, pas de doute

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  24. #19
    Evil.Saien

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Citation Envoyé par homotopie
    Et la marmotte emballe le chocolat*
    Vue l'allure des graphes de ces fonctions et de leur expression, ce n'est pas étonnant qu'une calculette s'y casse les puces.

    *: ma version locale de la reprise de cette vieille pub. Ah, ces Jeunes...
    Plutot que de parler marmottes, dis-moi pourquoi c'est "pas etonnant" comme tu le dis... Curieux de connaitre tes bons arguments !
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  25. #20
    GuYem

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Eh bien x^9 et x^10 entre 0 et 1 c'est kif kif la même chose. Du moins pour une calculette.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  26. #21
    nissart7831

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Oui, et ça n'a rien à voir avec le problème posé du topic où on parle d'une fonction et de sa fonction réciproque !!

    merci à matthias pour les pistes pour la démonstration. Je n'ai pas encore pu regarder.
    Par contre, quand tu dis que c'est mieux avec le dessin : tout à fait d'accord pour faire sentir le truc et mettre sur la piste, mais ce n'est pas une démonstration ! ??
    Dernière modification par nissart7831 ; 22/02/2006 à 10h10.

  27. #22
    rvz

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    C'est une démonstration !

    Cela dit, si tu veux plus de justifications, tu peux chercher inégalité de Young sur google. En gros, tu peu avoir envie de dériver une certaine fonction :
    Si f est bijective, f(0) = 0, f est croissante continue , et g sa réciproque. Si on appelle F et G leurs primitives respectives nulles en zéro,
    F(x)+ G(f(x)) = x.f(x)

    __
    rvz, tout ça ne vaut pas un bon dessin

  28. #23
    martini_bird

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Salut,

    comme celà n'a pas encore été dit, je souligne que les courbes représentatives de deux fonctions réciproques l'une de l'autre sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  29. #24
    Bleyblue

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Bon désolé pour le retard de ma réponse :

    Citation Envoyé par zinia
    Si tu fais un dessin, tu verras que selon l'allure des fonctions on a soit l'égalité des intégrales (continue décroissante) soit leur somme égale à 1 (continue croissante). Ton exemple vérifie bien cette seconde propriété
    D'accord, mais en quoi cela implique t'il que la différence des intégrales est nulle ? Si (a + b) = 1 alors (a - b) ne vaut pas forcément zéro quand même ...

    Sinon je ne comprend toujours pas cete histoire de marmotte ...

    merci

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  31. #25
    matthias

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Tu as mal lu Bleyblue. Zinia a bien précisé que soit on a égalité des intégrales (et donc différence nulle), soit la somme des intégrales vaut 1.

  32. #26
    Evil.Saien

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Citation Envoyé par GuYem
    Eh bien x^9 et x^10 entre 0 et 1 c'est kif kif la même chose. Du moins pour une calculette.
    Ah ben non, 0.5^10 est 2 fois plus petit que 0.5^9 et la calculette le voit. Aussi, on trouve pas du 10^-20 (je m'etais un peu trompe), mais 0.009 environ, soit en fait 1/10 - 1/11...

    Citation Envoyé par nissart7831
    Oui, et ça n'a rien à voir avec le problème posé du topic où on parle d'une fonction et de sa fonction réciproque !!
    Certes, mais c'est pas ce que je regardais. Je constate seulement que la calculette donne quelque chose de ralativement loin de 0...
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  33. #27
    Bleyblue

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Citation Envoyé par Mattihas
    Tu as mal lu Bleyblue. Zinia a bien précisé que soit on a égalité des intégrales (et donc différence nulle), soit la somme des intégrales vaut 1.
    Ah comme ça ok ...

    Et personne ne veut m'expliquer pour le coup de la marmotte et du chocolat emballé dans de l'alu ?

    merci

  34. #28
    Bleyblue

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    J'ai été demandé à un de mes professeurs de mathématique qui m'a répondut :

    Citation Envoyé par Thierry Libert




    Pour la première intégrale :

    posons u =



    si x = 0, u =1
    si x = 1, u = 0

    Donc l'intégrale devient :


    La deuxième intégrale vaut :



    donc leur différence vaut :

    Joli tout de même ...

  35. #29
    Bloud

    Re : Intégrale définie assez curieuse

    Oui, sympa comme démo
    I was born intelligent...education ruined me!

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