Bonjour,
Je cherche la valeur de :
Selon mon livre d'analyse cela fait zéro mais je ne comprend pas pourquoi.
Il est vain d'essayer de trouver une primitive et moi la seule idée que j'ai eue c'est de poser :
de manière à se ramener à une intégration de - a à a et alors si la fonction obtenue après changement de variable est impaire l'intégrale vaut zéro mais malheureusement ce n'est pas le cas.
Avez-vous une idée ? Je ne vois pas la ...
merci
Corrige moi si je me trompe:Envoyé par Bleyblue
Bonjour,
Je cherche la valeur de :
D'où (et c'est là où je suis plus sur, je prend la puissance 21 des deux côtés):
Ensuite suffit de developper...
Argh...
Faudrait remplacer les = par des ?= pour etre plus correcte !
Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier alu...
Salut,
en fait, il suffit de remarquer que les fonctionset
Cordialement.
Je me souviens encore la fougue qui m'animait lors du postage...Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier alu...
Ah mais oui pas bête ça.
Je pensais que je commençais à bien les connaîtres mes petites intégrales mais j'en apprend tous les jours décidément
Et si donc f est continue sur [a,b] la proprité suivante est valable dans tous les cas :
?
Sinon :
comment ça ? Ca n'a sans doute aucune importance mais j'aimerai comprendre ce que tu as voulut dire
merci
Bah on n'a pas (int(f))^n=int(f^n)! (Désolé, je ne gère pas en Latex...)
A mon avis, c'est faux en général. En tout cas, ce n'est pas une propriété.Ah mais oui pas bête ça.
Je pensais que je commençais à bien les connaîtres mes petites intégrales mais j'en apprend tous les jours décidément
Et si donc f est continue sur [a,b] la proprité suivante est valable dans tous les cas :
?
Prends f(x) = x², donc f-1(x) =
D'ailleurs, ça a du m'échapper mais, même si la remarque de martini_bird est vraie, je ne vois pas en quoi elle permet de conclure que l'intégrale est nulle. Merci de m'éclairer.
Bonsoir,
Si tu fais un dessin, tu verras que selon l'allure des fonctions on a soit l'égalité des intégrales (continue décroissante) soit leur somme égale à 1 (continue croissante). Ton exemple vérifie bien cette seconde propriété.
En outre la propriété n'est vraie que sur un intervalle [0,a] avec [f(a)=0 et f(0)=a] ou [f(a)=a et f(0)=0]
J'ai evalue cette integrale a la calculette, je trouve un truc assez loin de l'ordre du 10^-6... Ce qui est tres largement au dessus de la resolution de la calculette... Selon moi (et ma claculette), cette integrale n'est pas egale a 0. Par exemple, j'ai fait
et je trouve un ordre de 10^-20
En reflechissant, c'est bizzare que je trouve ca...Probablement une erreur c'est glissee dans ma calculette !
OK, merci.
Mais je serai plus convaincu par une démonstration.
Ok, j'ai vu la faute...
C'est corrige, mais maintenant ca donne du 10^-5...
Pourquoi fais tu ça ? x10 n'est pas la fonction réciproque de x9 !J'ai evalue cette integrale a la calculette, je trouve un truc assez loin de l'ordre du 10^-6... Ce qui est tres largement au dessus de la resolution de la calculette... Selon moi (et ma claculette), cette integrale n'est pas egale a 0. Par exemple, j'ai fait
et je trouve un ordre de 10^-20
Il suffit de faire un changement de variable y=f(x) et une intégration par partie assez évidente. Avec la formule de dérivation de la réciproque ça se fait bien.
à Zinia et Martini_bird, beau coup d'oeil et preuve très élégante.
Avec le dessin ce n'est pas difficile de faire une démo en bonne et due forme sans changement de variables (pour garder la généralité des fonctions continues). Quand on coupe une zone en deux, on a toujours la zone des deux petites aires égale la grande non? Et une isométrie conserve les aires, je crois.
Et la marmotte emballe le chocolat*J'ai evalue cette integrale a la calculette, je trouve un truc assez loin de l'ordre du 10^-6... Ce qui est tres largement au dessus de la resolution de la calculette... Selon moi (et ma claculette), cette integrale n'est pas egale a 0. Par exemple, j'ai fait
et je trouve un ordre de 10^-20
Vue l'allure des graphes de ces fonctions et de leur expression, ce n'est pas étonnant qu'une calculette s'y casse les puces.
*: ma version locale de la reprise de cette vieille pub. Ah, ces Jeunes...
Dans le cas général, on obtient ceci (si je n'ai pas fais d'erreur) :
Mais c'est mieux avec un dessin, pas de doute
Plutot que de parler marmottes, dis-moi pourquoi c'est "pas etonnant" comme tu le dis... Curieux de connaitre tes bons arguments !Et la marmotte emballe le chocolat*
Vue l'allure des graphes de ces fonctions et de leur expression, ce n'est pas étonnant qu'une calculette s'y casse les puces.
*: ma version locale de la reprise de cette vieille pub. Ah, ces Jeunes...
Eh bien x^9 et x^10 entre 0 et 1 c'est kif kif la même chose. Du moins pour une calculette.
Oui, et ça n'a rien à voir avec le problème posé du topic où on parle d'une fonction et de sa fonction réciproque !!
merci à matthias pour les pistes pour la démonstration. Je n'ai pas encore pu regarder.
Par contre, quand tu dis que c'est mieux avec le dessin : tout à fait d'accord pour faire sentir le truc et mettre sur la piste, mais ce n'est pas une démonstration ! ??
C'est une démonstration !
Cela dit, si tu veux plus de justifications, tu peux chercher inégalité de Young sur google. En gros, tu peu avoir envie de dériver une certaine fonction :
Si f est bijective, f(0) = 0, f est croissante continue , et g sa réciproque. Si on appelle F et G leurs primitives respectives nulles en zéro,
F(x)+ G(f(x)) = x.f(x)
__
rvz, tout ça ne vaut pas un bon dessin
Salut,
comme celà n'a pas encore été dit, je souligne que les courbes représentatives de deux fonctions réciproques l'une de l'autre sont symétriques par rapport à la première bissectrice.
Cordialement.
Bon désolé pour le retard de ma réponse :
D'accord, mais en quoi cela implique t'il que la différence des intégrales est nulle ? Si (a + b) = 1 alors (a - b) ne vaut pas forcément zéro quand même ...
Sinon je ne comprend toujours pas cete histoire de marmotte ...
merci
Tu as mal lu Bleyblue. Zinia a bien précisé que soit on a égalité des intégrales (et donc différence nulle), soit la somme des intégrales vaut 1.
Ah ben non, 0.5^10 est 2 fois plus petit que 0.5^9 et la calculette le voit. Aussi, on trouve pas du 10^-20 (je m'etais un peu trompe), mais 0.009 environ, soit en fait 1/10 - 1/11...
Certes, mais c'est pas ce que je regardais. Je constate seulement que la calculette donne quelque chose de ralativement loin de 0...
Ah comme ça ok ...
Et personne ne veut m'expliquer pour le coup de la marmotte et du chocolat emballé dans de l'alu
merci
J'ai été demandé à un de mes professeurs de mathématique qui m'a répondut :
Joli tout de même ...
Pour la première intégrale :
posons u =
si x = 0, u =1
si x = 1, u = 0
Donc l'intégrale devient :
La deuxième intégrale vaut :
donc leur différence vaut :
Oui, sympa comme démo
