Déterminer des parties ouvertes ou fermées à l'aide de boules

[invite94013f55]

Bonjour,

Je suis étudiant en deuxième année fac de science.

J'ai un souci concernant un exercice. On demande de déterminer si {(x,y) appartenant à R², abs(x)=/1, abs(y)=/1} est ouvert ou fermé ou aucun des deux et calculer les points intérieurs.
Comment vous feriez avec des boules?

Merci
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[invite14e03d2a]

Bonjour,

Comment vous feriez avec des boules?

Je ferais un dessin.

Cordialement

[invite94013f55]

Oui le dessin donne plusieurs boules ouvertes(4) donc plusieurs parties ouvertes mais je vois pas comment le démontrer mathématiquement.
Est-ce quand montrant qu'une boule dans le complémentaire est ouverte alors celle de l'ensemble de départ est fermée pourrait marcher?
De toute façon j'ai peut-être même pas compris le cours...

[gg0]

Bonjour.

Comme on ne sait pas ce qu'il y a dans ton cours, difficile de t'aider !
Cependant, si un sous ensemble A d'un vérifie la propriété : pour tout x appartenant à A, il existe une boule ouverte contenant x et contenue dans A, alors A est ouvert dans .

Avec un dessin, tu trouveras facilement comment prouver qu'une partie est ouverte. Pour un fermé, on regarde son complémentaire.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

Une réponse un peu plus complète: je note la partie en question. Au choix:

1. Pour montrer que est ouvert "par les boules ouvertes", tu choisis un point dans et il faut que tu trouves suffisamment petit pour que la boule ouverte de centre et de rayon soit completement contenue dans . Le dessin t'aide a choisir suffisamment petit.
2. Le dessin montre que est compose de 9 parties. Comme une union d'ouverts est ouvert, il suffit de montrer que chaque partie est ouverte. Pour cela, on peut utiliser les boules ouvertes (cela revient a l'idee precedente).
3. Le dessin montre que le complementaire de est une union de 4 droites. Cela ne devrait pas etre trop dur de montrer que c'est ferme.
4. Si tu connais la topologie produit: est le produit de l'ouvert par lui-meme, donc est ouvert.

Cordialement

[invite94013f55]

Bonjour,

Merci beaucoup.

J'ai bien compris maintenant comment fonctionne le raisonnement.

Je pourrais continué l'exercice

Cordialement