Une somme de partie entiere

[invite0ad54afb]

besoin d'une solution pour cette question si possible
montrez que
∑E(k*p/q)=½(p-1)(q-1)
la somme est celle de k allant de 1 jusqu'à q-1et E() signifie la partie entiere merci d'avance
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[Médiat]

Bonsoir,

Pour p/q = 2/2, l'égalité me paraît fausse

[invite0ad54afb]

ah j ai oublié de preciser que p et q sont premiers entre eux désolé et j'ai pas pu utiliser cette propriété pour la démonstration

[invite0ad54afb]

Bonsoir,

Pour p/q = 2/2, l'égalité me paraît fausse

bonsoir et merci j ai oublié de preciser que p et q sont premiers entre eux désolé

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Indication : on peut se ramener facilement au cas p < q.

[Médiat]

Bonjour,

Mon indication précédente permet de simplifier un peu, mais ne sert pas à grand chose toute seule, par contre l'indication ci-dessous permet de résoudre le problème en 2 lignes (bien choisies) :

[invite0ad54afb]

Indication : on peut se ramener facilement au cas p < q.

j'avais penser a ecrire p sous forme de p=n*q+r donc j aurais la somme egale a ∑E(k*p/q)=½(p-r)(q-1)+∑E(k*r/q) mais e n'ai pas pu proceder meme en sachant que r<q jessayerais d'utiliser votre deuxieme indication et merci

[invite0ad54afb]

Bonjour,

Mon indication précédente permet de simplifier un peu, mais ne sert pas à grand chose toute seule, par contre l'indication ci-dessous permet de résoudre le problème en 2 lignes (bien choisies) :

Oh oui vous avez raison au moment que j'allais utiliser cette propriété je ne la connaissais que sous sa forme générale
∀(x,y)∊ℝ² E(x+y)-E(x)-E(y)=0 ou 1
mais je n'ai pas pensé à poser les conditions sur x et y pour trancher dans la valeur de l’équation je pense maintenant qu'il suffit d'utiliser la premiere propriété et puis transformer cette somme ∑E(k*r/q) (de k=0 jusqu’à q-1) en celle de ∑ E(k*r/q)+E(1-k*r/q) (qui va de 1 usqu a E(q/2)) ce qui donne une somme égale a 0 donc on peut en déduire que (q-1)*r/q<1 donc r=1 (puisque r est un entier) d'ou le résultat ? c'est ça ?

[invite0ad54afb]

j'aimerais bien rectifier une erreure dans mon developpement on va transformer cette somme ∑E(k*r/q) (de k=0 jusqu’à q-1) en celle de (1/2)*∑ (E(k*r/q)+E(r-k*r/q)) (qui va de 1 usqu a q-1) ce qui donne une somme égale a (1/2)(r-1)(q-1)
donc just en factorisant avec le terme trouvé percedament en obtiens la réponse merci beaucoup pour l'aide

[Médiat]

Oui, c'est bien cela, on doit même pouvoir se passer du passage de p à r.