Optimisation quadratique et matrice définie positives

[inviteb762ab8b]

Bonjour à tous,

Je suis en train d'essayer de résoudre un problème d'optimisation de la forme max x'Ax t.q. x'Bx=1. x est le vecteur à optimiser et A et B sont des matrices connues.
En prenant le Lagrangien et dérivant j'obtiens que les vecteurs x solutions sont les vecteurs propres de la matrice car on a l'équation: . Je pensait donc prendre le vecteur propre correspondant à la valeur propre la plus grande comme solution.

Le problème est que je ne suis pas sûre du tout que mon résonnement est valide, j'ai trouvé quelque part qu'il faut que soit définie positive, pour que le problème soit convexe ? J'essaie de comprendre les choses. J'ai auparavant résolu un problème du même genre qui a fonctionné car ma matrice était symétrique définie positive. Seulement ici, A est bien symétrique définie positive, mais B n'est pas symétrique. J'ai donc l'impression que je ne peux pas optimiser mon problème de cette façon, mais je voulais demander votre avis avant d'abandonner cette piste. Je ne suis pas très sûre de mes maths, étant donné que j'apprends un peu tout ça de manière autodidacte sur internet...

Une matrice non symétrique peut-être être définie positive ? Y a-t-il des familles de matrices pour lesquels ont peut être sûr qu'elles soit positives ?

Merci beaucoup pour votre aide !

edit: si jamais vous avez une bonne référence à me donner sur les optimisations quadratique de cette sorte, je suis preneuse. Je n'ai rien trouvé personnellement...
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[inviteb762ab8b]

Je vois que mon problème n'inspire pas trop. J'ai réussi à un peu contourner la question, du coup j'ai une autre question sur les valeurs propres :
quels sont les liens entre les vecteurs propres d'une matrice quelconque (complexe) A et de la matrice symétrique associée (A+ A*)/2 ?? Y en a-t-il ?