Déterminaison d'une borne inf

[invite0ad54afb]

bonsoir
on me demande dans une question de déterminer les majorants minorants bornes sup et inf de plusieurs ensembles mais j'hésite sur la methode a appliquer pour prouver que -1 est la borne inf de certain il s'agit de {(-1)ⁿ+1/n , n∊ℕ*}
j ai commencé par poser deux suites tels que l'une traite le cas ou n est pair l'autre traite le cas ou n est impaire celle des paires est supérieure a 1 et donc toujours supérieure a celle des impaires donc je voulais montrer que la suite des n impaires (qui est décroissante) converge vers -1 mais je ne sais pas comment je serais capable d'effectuer cela sinon est ce qu'on peut utiliser une méthode plus facile et concise merci d'avance
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[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) je voulais montrer que la suite des n impaires (qui est décroissante) converge vers -1 mais je ne sais pas comment je serais capable d'effectuer (...)

Ben pour la sous-suite impaire dont tu parles, on a : , donc la convergence vers de cette sous-suite est immédiate.


Cordialement

[invite0ad54afb]

merci je pensais que je devais au moins utiliser la définition de la limite avec les epsilons et tout et que ma réponse manquais de précision

[PlaneteF]

merci je pensais que je devais au moins utiliser la définition de la limite avec les epsilons et tout et que ma réponse manquais de précision

Ne me fais pas dire ce que je n'ai pas dit . Tu te demandais, entre autres choses, comment montrer que la limite de la sous-suite impaire était égale à , ... et j'ai uniquement répondu à cette question.

Maintenant, est évidemment un minorant, et la question est de savoir si c'est le plus grand des minorants.


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Je poursuis mon message précédent :

Une façon de justifier que est la borne inférieure de l'ensemble considéré, est de faire le raisonnement par l'absurde suivant : Supposons que , avec , soit un minorant de cet ensemble. Maintenant on peut considérer l'intervalle . En utilisant la définition de la limite d'une suite, que peut-on dire des termes de la suite à partir d'un certain rang ? ... La réponse à cette question conduit immédiatement à une absurdité.


Cdt

[invite0ad54afb]

Ah merci c'est cela que je cherchais merci pour votre aide j'ai pu résoudre l'exercice (y)

[invite0ad54afb]

juste pour s'assurer on suppose l’existence d'un certain positif fixé tel que est la borne inf de l'ensemble
alors on utilise la définition de la limite d'une suite qui pour tout positif donne l'existance d'un rang N apres lequel on a < ce qui implique que < ce qui est absurde puisque tend vers et pas vers un certain positif apres un certain rang c'est ca ?

[invite9dc7b526]

Tous les éléments de l'ensemble en question sont strictement supérieurs à -1. Donc ton ensemble est inclus dans l'intervalle fermé [-1,infini) et donc son adhérence est encore incluse dans cet intervalle, et donc sa borne inférieure est supérieure ou égale à -1. Comme il y a une suite extraite qui converge vers -1, -1 est dans l'adhérence et donc la borne inférieure est inférieure ou égale à -1.

[invite0ad54afb]

Tous les éléments de l'ensemble en question sont strictement supérieurs à -1. Donc ton ensemble est inclus dans l'intervalle fermé [-1,infini) et donc son adhérence est encore incluse dans cet intervalle, et donc sa borne inférieure est supérieure ou égale à -1. Comme il y a une suite extraite qui converge vers -1, -1 est dans l'adhérence et donc la borne inférieure est inférieure ou égale à -1.

merci mais j'essaye de résoudre le probleme en utilisant la définition de la limite qui me pose parfois des difficultés

[PlaneteF]

merci mais j'essaye de résoudre le probleme en utilisant la définition de la limite qui me pose parfois des difficultés

Puisque tu voulais utiliser la définition d'une suite, je t'avais quasiment donné la réponse à 95% dans mon message#5. Je passe de 95% à 98% :

Par définition de la limite d'une suite, il existe un rang à partir duquel les termes de la suite sont dans l'intervalle . Je te laisse le soin de souligner l'absurdité qui en découle.


Cdt