Les relations d'équivalence

[invite7efd1291]

Bonjour !

J'ai quelques soucis avec les relations d'équivalence. Je dois simplement déterminer les trois propriétés (réflexive, symétrie et transitivité) qui s'appliquent aux relations ci-dessous :

la relation ">" dans les réels,
la relation "est perpendiculaire à" sur l'ensemble de toutes les droites d'un plan.

J'ai des difficultés à comprendre les relations d'équivalence et comment cela fonctionne. Pourriez-vous me donner quelques indications afin que je puisse déterminer les propriétés ?

En vous remerciant !
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[invite8ab5fa54]

Il s'agit une application directe du cours, alors je ne vois pas où tu bloques.
Connais-tu les définitions de réflexive, symétrique et transitive ?

[invite7efd1291]

Je les ai écrites en cours, mais je ne les comprends pas. Peut-être qu'avec une définition différente ?

Merci pour ta réponse rapide en tout cas !

[gg0]

Bonjour.

traduction en termes d'action (mais c'est de la paraphrase):
Une relation R entre éléments de E est
* réflexive si on montre que pour tout x de E, xRx
* symétrique si on prouve que quels que soient x et y de E, x R y implique y R x
* transitive si on prouve que quels que soient x, y et z de E, x R y et y R z impliquent x R z.

C'est tout (et c'est tout simple, on faisait faire ça à des élèves de collège entre 1970 et 1985).

Donc fais-le pour R remplacé par >.

Bon travail !

NB : Il n'y a rien à comprendre, c'est des définitions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ab5fa54]

2 exemples pour t'aider à comprendre :
La relation ">" sur est transitive car , si et , alors .
La relation "est perpendiculaire à" sur l'ensemble de toutes les droites d'un plan est symétrique car pour toutes droites et du plan , si est perpendiculaire à alors est perpendiculaire à

[PlaneteF]

Bonjour,

Un exemple de la vie courante : Parmi un ensemble d'invidus, soit la relation "avoir la même couleur des yeux que".

Cette relation est réflexive car tout individu à la même couleur des yeux que lui-même.

Cette relation est symétrique car si individu1 à la même couleur des yeux que individu2, alors individu2 à la même couleur des yeux que individu1.

Cette relation est transitive car si individu1 à la même couleur des yeux que individu2 et si individu2 à la même couleur des yeux que individu3, alors individu1 à la même couleur des yeux que individu3.

Cette relation est donc une relation d'équivalence.

Cordialement

[invite7efd1291]

Merci beaucoup gg0, Noct et PlaneteF.
L'analogie avec les individus et la couleur des yeux m'a sauté aux yeux ! La théorie et les exemples sont compris !

[PlaneteF]

L'analogie avec les individus et la couleur des yeux m'a sauté aux yeux !

Il ne s'agit même pas d'une analogie, mais bien d'une relation d'équivalence !

Cdt

[Médiat]

"Etre de la même couleur que" est même une relation d'équivalence qui est la meilleure (à mes yeux et dans un cadre "vie courante") définition de la couleur, et c'est bien ainsi, qu'enfant, nous apprenons ce qu'est une couleur.