Bonjour !
Je suis à la recherche d'exos sympas en topologie de pré-requis Maths Spé.
Le "sympa" étant complètement subjectif : que vous trouvez sympa selon vos goûts personnels.
Je peux donner des exemples d'exos que je trouve sympas par exemple :"F un fermé de C, P un polynôme de C[X], prouver P(F) fermé (et de même pour un ouvert)."
ou l'exo "u(n+1)-u(n) tend vers 0, a et b deux valeurs d'adhérences, montrer que [a,b] est inclus dans l'ensemble des valeurs d'adhérence de u".
"soit une suite u telle que u(n+1)-u(n) tend vers 0 et avec deux valeurs d'adhérences a et b distinctes. Montrer que [a,b] est inclus dans l'ensemble des valeurs d'adhérence de u"
A la première lecture je pensais qu'une telle suite u n'existait pas. Puis en réfléchissant un peu je comprends que la suite peut aller de a vers b puis de b vers a de plus en plus lentement. Je ne serais pas surpris que u(n) = sin(log(n)) convienne pour a=-1 et b=1. Mais pour démontrer que toute valeur entre a est b est une valeur d'adhérence, je ne vois pas.
L'idée c'est de prendre un epsilon, de prendre un rang N tel que pour tout N |u(n+1)-u(n )|<epsilon.Envoyé par joel_5632
Ensuite on prend un n0 tel que |u(n0)-a|<epsilon
Un n1>n0 tel que |u(n1)-b|<epsilon
Ensuite on découpe [a,b] en Morceaux de taille epsilon, et alors il y a au moins un n entre n0 et n1 tel que u(n) soit dans le morceau
Bonjour,
Je propose l'exercice suivant : Montrer que l'ensemble des valeur d'adhérence d'une suite est fermé dans. Réciproquement, soit
Le résultat en fait général,
If your method does not solve the problem, change the problem.
si adhérence il y a , non ?
Bonjour,
Je propose l'exercice suivant : Montrer que l'ensemble des valeur d'adhérence d'une suite est fermé dans
une demo par l'absurde me semble enviseagable.
à moins que l'ensemble vide soit un fermé de R ( ma mémoire me fait défaut )
L'ensemble vide est toujours un ouvert et un fermé pour toutes les topologies
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
exact, je venais à l'instant de vérifier.
merci à toi !
Non.Montrer que l'ensemble des valeur d'adhérence d'une suite est fermé dans
Réciproquement, soit
Montrer qu'il existe une suite
Le résultat en fait général,
Soit E un ensemble infini non dénombrable, muni de sa topologie discrète (elle est métrisable : d(x,x)=0 ; d(x,y)=1 si x≠y), et soit F=E.
Il n'existe aucune suite dont l'ensemble des valeurs d'adhérence soit F…
Très bonne remarque : il faut que l'espace soit séparable
Effectivement, un petit oubli de ma part. Merci d'avoir corrigé
If your method does not solve the problem, change the problem.
Pas de quoi… (ça arrive à tout le monde).Effectivement, un petit oubli de ma part. Merci d'avoir corrigé
Il faut, il faut…
Heu, il suffit, plutôt ?
Sauf si on peut montrer que si E est tel que tout fermé de E est l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite de E alors E est séparable : exercice pour la semaine prochaine!
Oui, c'est ce que je me suis dit aussi (mais là ça dépasse mes compétences ; quoi que… en se mettant à chercher, on ne soit pas à l'abri d'une bonne surprise
ça me semble assez plausible en fait. Si j'interprète "séparable" comme "pas trop gros", ça va bien avec le fait que les valeurs d'adhérence des suites couvrent l'ensemble des fermés. mais bon, c'est loin d'être une preuve...
La réciproque est "triviale" : soit Un une suite qui a pour valeurs d'adhérence E, alors {Un} est un sous ensemble dénombrable dense de E: l'espace E est séparable
ah ben oui. Comme quoi ça peut être utile de mettre son cerveau en marche le matin...
Ouuuuups !
Bien vu (et c'est là qu'on a envie de disparaître dans un trou de souris…).
