Exercices de topologie dans IR

[inviteaa7fccc7]

Bonjour a tous, voila je viens d'étudier le chapitre d'introduction a la topologie sur IR et j'essaie de faire plusieurs exercices qui n'on pas tous étés corrigés en cours ... c'est pourquoi je vous demande votre aide, afin de me guider dans une correction/redaction des exercices ...

Merci beaucoup a tous ceux qui prendrons la peine de me répondre

PS: j'ai commencé à rédiger un message il y a 20 min en galerant avec le "tex" et lorsque j'ai voulu envoyer le message tout a été supprimé car la session avait expirée, mais comme c'est juste pour mettre des barres ou des ronds au dessus des lettres je vais faire autrement xd


voici les premiers exercices ou j'aimerai que l'on me dise si c'est bon, et que l'on me corrige

1) Soit A et B deux ensembles de IR tels que B est un ensemble fermé et A est un ensemble ouvert. Montrer que A\B est un ouvert sur IR.

je procède en 3 étapes :

-> si AnB = {0} Alors A\B = A et donc est ouvert.
-> Si A=B ou AcB alors A\B = {0} et donc est ouvert.
-> Si BcA alors A\B = A\(adhérence de B ) (car B fermé) et donc d'apres le cours on a A\(adhérence de B ) = (intérieur (A\B)) donc A\B est ouvert.
J'utilise une propriété du cours et le but de l'exercice est peu etre de la demontrer ... donc il y a surement une autre méthode.

2) Soit A un ouvert de IR. Montrer que la frontiere de A est d'intérieur vide.

je passe par la définition du cours :
front(A) = adherence(A) \ interieur(A)
d'apres une propriété du cours je crois qu'on peu dire que (interieur(adherence(A)\interi eur(A)) = (adherence(a) \ (adherence(interieur(A))) or pour resoudre l'exercice il faudrai (adherence(interieur(A)) = adherence(A) comme ca on aurait adherence(A)\adherence(A) mais je crois pas que ca marche ... :s

finalement c'est pas tres lisible :s ... désolé

merci d'avance
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[invitebe08d051]

Salut,

1) Soit A et B deux ensembles de IR tels que B est un ensemble fermé et A est un ensemble ouvert. Montrer que A\B est un ouvert sur IR.

L'intersection de deux ouvert est un ouvert.

2) Soit A un ouvert de IR. Montrer que la frontière de A est d'intérieur vide.

.

Car .

[inviteaa7fccc7]

Donc pour le premier je peux dire : A\B = An(complémentaire(B)) or comme B est fermé, complementaire(B) est ouvert donc An(complémentaire(B)) est ouvert (car A ouvert et l'intersection de deux ouvert est un ouvert ) ?

merci beaucoup

[invitebe08d051]

Donc pour le premier je peux dire : A\B = An(complémentaire(B)) or comme B est fermé, complementaire(B) est ouvert donc An(complémentaire(B)) est ouvert (car A ouvert et l'intersection de deux ouvert est un ouvert ) ?

Exact.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaa7fccc7]

bonjour, je viens d'essayer de refaire l'exercice sans regarder la correction, mais je bloque ....

Salut,


.

Car .

Dans mon cours moi j'ai

a partir de la


or j'ai que (1)

et que (2)

donc pour moi

(1) et (2) =>


on a donc alors


Et la je viens de remarquer que A est ouvert donc ce qui revient a la fin de ta correction donc je pense que c'est bon ... ?

Mais du coup de comprend pas comment tu as :

merci beaucoup pour ton aide

[invitebe08d051]

Mais du coup de comprend pas comment tu as :

Ça découle du fait que:

.

Et j'utilise que est ouvert et donc .

Ta démo est correcte.

[inviteaa7fccc7]

merci beaucoup pour ton aide je comprend deja beaucoup mieux

merci

[inviteaa7fccc7]

j'ai encore des exercices ou j'aimerai bien une correction pour pouvoir mieux comprendre... je continu sur ce sujet plutôt que d'en recréer un autre.

Cette fois-ci, ca concerne les bornes inférieurs supérieures etc ...


Soit A une partie non vide de R, on pose
B = −A := {b ∈ R | ∃a ∈ A, b = −a},
c’est-a-dire b ∈ B si et seulement si −b ∈ A.

1)Montrer que A est majore si et seulement si B est minore. Montrer que A est minore si
et seulement si B est majore.
2)Montrer que γ est un minorant de A si et seulement si −γ est un ma jorant de B.
3)En deduire (en se basant sur l’axiome de la borne superieure) que si A est minorée,
l’ensemble des minorants de A possède un plus grand élément qui sera note inf (A).
Montrer que inf A = − sup B.

C'est plutôt évident mais c'est moins evident a expliquer ...

1) A est majoré => ∃ M ∈R tel que ∀x ∈A, x≤ M. Or ∀x ∈A, -x∈B
Et comme x≤ M on a donc -x≥-M

=> ∃ M'(=-M) ∈R tel que ∀z(=-x) ∈A, z≥M'
donc A majoré => B minoré.
=> ? A majoré ssi B minoré ?

2) γ est minorant => ∀x ∈A, x≥γ.
on a donc -x∈B et ∀x -x≤-γ.

donc γ est minorant de A => -γ minorant de B


3) la j'ai un peu du mal, je sais pas comment l'expliquer :s


mes explications sont un peu trop simpliste je pense, et je démontre pas vraiment ce qu'il faut , notamment le "si et seulement si" ...

Voila si quelqu'un peu me guider ...

merci beaucoup