Racine 3ème de 100

[invite50ab1a1f]

bonjour,
comment peut on montrer que la racine 3iem de 100 n'est pas rationnelle ?
j'ai essayer de m'inspirer de la méthode pour montrer que racine de 2 n'est pas rationnelle sauf que je bloque a un moment
voici ce que j ai fait
on suppose que racine 3iem de 100 = a/b avec a et b appartenant a Z et premiers entre eux.
donc 100=a^3/b^3
donc 100b^3=a^3
mais que peut on faire après ?
je vous remercie d'avance pour votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux déduire que a est divisible par 2, donc a=2c pour un certain c, puis en conclure que b doit également être divisible par 2, ce qui contredit le fait que a et b sont premiers entre eux. La preuve est vraiment similaire à celle concernant racine de 2.

[invite50ab1a1f]

tout d'abord merci pour ton aide
dc comme a^3=100b^3
a^3 est divisible par 2 dc a est divisible par 2
donc a=2c donc on a 8c^3=100b^3
donc b^3=(8/100)c^3
mais donc comment peut on prouver que b^3 est divisible par 2 ?
merci

[inviteea028771]

Comme a et b sont premiers entre eux, a^3 et b^3 aussi
Donc comme b^3 divise a^3, b^3 =1

donc racine troisième de 100 est un entier... a partir de là il est facile de conclure

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

dc comme a^3=100b^3
a^3 est divisible par 2 dc a est divisible par 2
donc a=2c donc on a 8c^3=100b^3
donc b^3=(8/100)c^3
mais donc comment peut on prouver que b^3 est divisible par 2 ?

Tu as , donc divise nécessairement .

Sinon, tu as la méthode proposée par Tryss.