[Ensemble Dénombrable] Numérotation ensemble fini

[invite9170cdd0]

Bonjour/Bonsoir,

je viens sur ce forum, car notre professeur de mathématiques nous a donné un problème à résoudre. Voici l'intitulé de ce dernier :

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Soit E un ensemble fini, par exemple E = [n]

1. Soit k un entier. Construisez explicitement une numérotation de l’ensemble E^k.

1. Construisez explicitement une numérotation de l’ensemble des listes E^*

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Je n'attends pas la solution toute faite, mais juste des propositions pouvant me faire comprendre comment faire, car là je sèche, et je ne vois même pas comment commencer.

Merci d'avance !

Flerment
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[inviteea028771]

Supposons que E={0,1}, comment pourrait tu numéroter E^3 ?

Cette façons de ranger les éléments ne te ferais pas penser à quelque chose?
(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1 ),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1 ,1)

Ça c'est pour n=2, si tu trouves, tu pourra réfléchir à comment étendre ça à n=10, puis à un n quelconque (la valeur 10 n'est pas innocente)

[invite9170cdd0]

Merci pour ta réponse. Ta façon de présenter les choses ici, ce sont des tables de vérités si je ne me trompes pas. Nous avons alors 2³ = 8 couples de 3 entiers appartenant ) E d'après ce que j'ai cru comprendre.

Pour E³ et E = [10] (soit E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}) cela ne change pas énormément mis à part le fait que j'aurais des couples du genre : (0,1,8). Et que j'en aurais 10³ c'est à dire 1000.

Si on généralise on a pour E = [n] sur E^k, n^k couples composés de n éléments.

Ai-je bien compris ou est-ce-que je pars complètement à côté de la plaque ? Et si j'ai bien compris, comment dois-je ensuite exprimer explicitement E^k pour E = [n] ?

Merci encore.

[inviteea028771]

En fait, je voulais te faire remarquer que (0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1 ),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1 ,1) ça ressemble quand même beaucoup à l'écriture en binaire des nombres 0 , 1 , 2, 3,4,5,6,7,8,9

Et pour n=10, tu peux de la même façon "écrire" en base 10 les nombres

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

En fait, je voulais te faire remarquer que (0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1 ),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1 ,1) ça ressemble quand même beaucoup à l'écriture en binaire des nombres 0 , 1 , 2, 3,4,5,6,7,8,9

Et pour n=10, tu peux de la même façon "écrire" en base 10 les nombres

oh non

[invite9170cdd0]

Je vais t'avouer que je vois pas du tout là où tu essaies de m'emmener finalement.

Car écriture binaire... D'accord, mais je n'ai que 8 triplets donc ça ne fait pas {0..9}.

Du coup je vois encore moins comment exprimer pour E=[10] et pour E=[n] ...

[inviteea028771]

Je vais t'avouer que je vois pas du tout là où tu essaies de m'emmener finalement.

Car écriture binaire... D'accord, mais je n'ai que 8 triplets donc ça ne fait pas {0..9}.

Du coup je vois encore moins comment exprimer pour E=[10] et pour E=[n] ...

Pour E=[10], et k=7 je donnerai à l'élément (1,2,7,6,9,8,5) le numéro 1276985

[invite9170cdd0]

Je n'ai jamais travaillé sur les bases... mais si j'ai bien compris tu as l'élément (1,2,7,6,9,8,5) et quand tu fais 1x10⁷ + 2x10⁶ + ... + 8x10¹ + 5x10⁰ tu as la transition entre ton élément et ton nombre.

Faut que j'applique cela à E=[n] ? Ou une fois de plus je m'égare complètement ?

[inviteb3279ba3]

Bonsoir ! Je suis dans la même classe que Flerment et j'ai le même problème !

Quand tu dis : pour E=[10], et k=7 je donnerai à l'élément (1,2,7,6,9,8,5) le numéro 1276985.
Je comprends : Pour E=[10], et k=7 .

En fait, je vois pas du tout de quoi tu parles. Dans tes premières explications dans lesquelles tu parlais d'écriture binaire je comprenais pas non plus en quoi ça pouvait nous aider mais là par contre tu m'as complètement perdu

[inviteea028771]

Je n'ai jamais travaillé sur les bases... mais si j'ai bien compris tu as l'élément (1,2,7,6,9,8,5) et quand tu fais 1x10⁷ + 2x10⁶ + ... + 8x10¹ + 5x10⁰ tu as la transition entre ton élément et ton nombre.

Faut que j'applique cela à E=[n] ? Ou une fois de plus je m'égare complètement ?

Oui, c'est ça. Ici la numérotation "naturelle" est de considérer que l'ensemble E=[n] est (en bijection avec) l'ensemble des chiffres en base n, et donc qu'un élément de E^k est vu comme un nombre a k chiffres en base n.

[invite9170cdd0]

Ok là je te suis ! Donc sachant que le nombre est en base n nous aurons a*n^k + b*n^k-1 + ... + x*n¹ + y*n⁰ ??

[inviteea028771]

Ok là je te suis ! Donc sachant que le nombre est en base n nous aurons a*n^k + b*n^k-1 + ... + x*n¹ + y*n⁰ ??

C'est ça

[invite9170cdd0]

Ok merci bien.

Et pour E* je dois partir de E* = [n] \ 0 mais du coup c'est juste a*n^k + b*n^k-1 + ... + x*n¹ avec la partie suivant en moins : + y*n⁰ ??

[inviteea028771]

Non, ici E*, c'est l'ensemble des k-uplets de E, pour k variant de 1 à +oo

Par exemple pour E={0,1}

(0),(1),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1 ),(0,0,0),(0,0,1),...

[invite9170cdd0]

Ah ok ! Mais ça donne quelque chose de vraiment énorme alors si on a E = [n]...

SOMME(E^k) avec k allant de 0 à +oo ? ça exprime pas vraiment correctement ce que tu m'as écris non ?

[invite9170cdd0]

Ah ok ! Mais ça donne quelque chose de vraiment énorme alors si on a E = [n]...

SOMME(x_k*n^k) avec k allant de 0 à n ?