Relation d'ordre sur un groupe

[invite0a487cc9]

Bonjour,
Est-il possible (et si oui comment) de construire une relation d'ordre total sur un groupe ?
Je parle bien de construction, et non d'admettre son existence.
Je pense que dans le cas général cela n'est pas possible, c'est pourquoi je pense que se restreindre au cas fini est raisonnable (bien que là aussi c'est peut-être insuffisant !).
La piste que je poursuis est d'exploiter l'ordre des éléments pour se ramener à l'ordre connu de N.
Bien qu'on soit dans un groupe, je cherche pas à ce que la relation soit compatible avec la loi de composition interne.
Des idées ?
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[Seirios]

Bonjour,

Si tu ne demandes pas à ce que la relation d'ordre ait quoi que ce soit à voir avec la structure de groupe, le fait de travailler avec un groupe n'intervient pas. Tout ce que tu as à montrer, c'est qu'il existe une relation d'ordre total sur un ensemble de cardinal quelconque; il suffit ensuite de transférer la relation d'ordre via une bijection.

Mais le terme de "construction" est plutôt flou. Une question pertinente pourrait être : sans l'axiome du choix, tout ensemble admet-il une relation d'ordre total ?

[inviteea028771]

Puisque tu t'en fiche que ta relation soit compatible avec la loi, dès que tu es dans un groupe fini c'est gagné : tu numérotes les éléments du groupe et tu utilises alors l'ordre usuel de N

[Seirios]

Effectivement, si on travaille avec des ensembles finis, l'axiome du choix n'est probablement pas nécessaire; ce serait sans doute la même chose pour des ensembles dénombrables. Après, il doit y avoir des résultats exotiques de théorie des ensembles

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a487cc9]

Par construction j'entendais effectivement sans l'axiome du choix.
Je me suis mis dans un groupe pour pouvoir utiliser les particularités offerte par sa structure, sans pour autant qu'on est compatibilité..
Sinon sur un ensemble dénombrable tu dis qu'il suffit de numéroter c'est à dire créer une bijection de E sur une partie de N.
Ce qui découle effectivement des définitions.

Revenons donc au cas général d'un groupe non dénombrable.
Est-ce alors possible ? Ou plutôt, à quelle condition supplémentaire ?

[Seirios]

Voici quelques discussions sur le sujet : ici et là.