les limites, problème de compréhension

[ayswen]

Bonjour,

Je suis en train de bosser mon cours de maths de L1 sciences, et je ne comprend pas vraiment ceci :

"soient f une fonction définie sur un intervalle J de R, a un point de J, et l un réel.
lim f (x) = l
x-> a
se traduit mathématiquement par le fait que pour tout réel e strictement positif, il existe un réel n strictement positif tq :

Pour tout x de J, 0 <|x-a|<n => |f (x)-l|<e"

Pas mal de trucs que je comprend pas, a savoir :
- pourquoi on part de e pour trouver n dans l'énoncé alors que c'est l'existence de n qui implique celle de e dans la formule ?
- concrètement, en quoi cette le fait que cette proposition soit vérifiée prouve-t-il l'existence d'une limite l en a de la fonction ?
- en utilisant une fonction connue (par exemple f (x)=sqrt (1-x^2) définie sur [-1, 1]), est-il possible de prouver l'existence de la limite (disons la limite en 1 dans l'exemple) à partir de cette implication (et si oui comment ?) ?

Voilà voilà, ceci est mon premier message sur le forum, désolé si je reposte un sujet déjà existant et/ou que je ne suis pas dans la bonne catégorie. Ça aurait aussi été plus joli avec du LaTeX, mais ça fait trop longtemps que je m'en suis par servi, navré pour vos pauvres petits yeux donc ^_^

Merci par avance pour vos réponses, et bonne soirée a tous !
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[Médiat]

Bonjour

- pourquoi on part de e pour trouver n dans l'énoncé alors que c'est l'existence de n qui implique celle de e dans la formule ?

Dans la formule, c'est bien e qui permet de calculer n (il suffit de regarder l'ordre des quantificateurs)
QUOTE=ayswen;5006070]- concrètement, en quoi cette le fait que cette proposition soit vérifiée prouve-t-il l'existence d'une limite l en a de la fonction ?[/quote]Parce que c'est la définition
QUOTE=ayswen;5006070]- en utilisant une fonction connue (par exemple f (x)=sqrt (1-x^2) définie sur [-1, 1]), est-il possible de prouver l'existence de la limite (disons la limite en 1 dans l'exemple) à partir de cette implication (et si oui comment ?) ?
[/quote]Il suffit de quelques calculs simples : écrivez-les et vous verrez (ou poserez la question ici)

[gg0]

Bonsoir.

"pourquoi on part de e pour trouver n dans l'énoncé alors que c'est l'existence de n qui implique celle de e dans la formule ?" Justement, pour pouvoir démontrer l'implication, on a besoin de savoir quel n existe pour que ça marche pour le e choisi.

"en quoi cette le (sic) fait que cette proposition soit vérifiée prouve-t-il l'existence d'une limite l en a de la fonction ?" Cette propriété dit que à condition de prendre x suffisamment près de a, on rend f(x) aussi p^roche que l'on veut de l.

" en utilisant une fonction connue (par exemple f (x)=sqrt (1-x^2) définie sur [-1, 1]), est-il possible de prouver l'existence de la limite (disons la limite en 1 dans l'exemple) à partir de cette implication (et si oui comment ?) ? " Oui; mais plus la fonction est compliquée, plus c'est difficile. D'où l'utilisation de cette définition pour prouver les propriétés de base des limites, qu'on utilise ensuite.

Attention : ce que tu as écrit est la définition de la "limite épointée" : la valeur de f en a n'intervient pas si f(a) existe. On utilise généralement qui autorise x à être égal à a, et est plus compatible avec la définition de la continuité.

Cordialement.

[Tryss]

- pourquoi on part de e pour trouver n dans l'énoncé alors que c'est l'existence de n qui implique celle de e dans la formule ?

Je préfère écrire l'énoncé entièrement avec des quantificateurs, c'est plus clair :



Quand on lit cette formule, on fixe d'abord un arbitraire, puis on choisi un qui dépend de (mais pas de x), puis on choisi un x arbitraire, et alors si est vrai, est vrai

- concrètement, en quoi cette le fait que cette proposition soit vérifiée prouve-t-il l'existence d'une limite l en a de la fonction ?

C'est la définition. Ça ne prouve rien, c'est défini de cette façon

en utilisant une fonction connue (par exemple f (x)=sqrt (1-x^2) définie sur [-1, 1]), est-il possible de prouver l'existence de la limite (disons la limite en 1 dans l'exemple) à partir de cette implication (et si oui comment ?) ?

Oui, on peut. Le plus simple, c'est de raisonner par analyse synthèse. Il faut tout d'abord conjecturer la limite, car cette définition ne nous donne pas de moyen de construire cette limite (il faut pour cela les théorèmes usuels sur les limites)

On prend un quelconque, et alors un x qui vérifie s'écrit , avec . Dans l'exemple que tu as choisi, on prendra a=1, l=0 et x=1-h avec h positif

Et ensuite on injecte dans l'expression :

Sans perte de généralité, on peut ne s'intéresser qu'aux h petits (ici plus petit que 1), et alors .

Donc on prend , c'est à dire

Et si , alors

Donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[ayswen]

Merci beaucoup Médiat, gg0 et Tryss d'avoir pris le temps de me répondre ( mention spéciale au dernier pour tous les détails ), c'est beaucoup plus clair comme ça ! Bonne journée à tous