Juste petite question :
Si j'aiune base infinie dénombrée d'un espace vectoriel, et u tel que
Peut-on dire que la suite de vecteurs
Parce qu'en faisant l'analogie avec la convergence simple de la suite des composantes : la suite des m-ièmes composantes de xn tend vers la m-ième composante de u, on pourrait facilement se dire ça, mais je n'arrive pas vraiment à construire de preuve :/
Merci beaucoup =D
je doute que cette définition signifie convergence. Tu n'as défini aucune norme dans ton ev.
Cette somme infinie, doit supposer que seul un nombre fini de coefficients sont non nuls.
Dans les espace de hilbert séparable, tu as des bases dénombrables, et tu as l'equivalent que tu cherches.
Déjà, tout élément d'un espace vectoriel s'écrit comme une combinaison linéaire finie des éléments de la base. Soit ta somme est une somme finie, soit tu ne parles pas juste d'un espace vectoriel : cf la remarque de untruc sur les espaces de Hilbert et les bases de Hilbert (qui est une notion différente de celle de base d'un espace vectoriel)Envoyé par Victor.S
Juste petite question :
Si j'ai
Peut-on dire que la suite de vecteurs
Parce qu'en faisant l'analogie avec la convergence simple de la suite des composantes : la suite des m-ièmes composantes de xn tend vers la m-ième composante de u, on pourrait facilement se dire ça, mais je n'arrive pas vraiment à construire de preuve :/
Merci beaucoup =D
Il est ensuite fondamental de préciser de quelle norme on parle quand on est dans des ev de dimension infinie.
Ceci dit, ici, si on parle de base au sens algébrique,
Si je prend la famille de suite
Cette famille n'est donc pas génératrice. En fait une combinaison linéaire est définie "à support fini" d'après ce que je vois.
Ce qui explique la non dénombrabilité de
Okay merci. parce que dans ma tête j'imaginais exactement la même construction de "base" pour les fonctions bornées dans [0,1], mais visiblement non.
Oui, mais dans l'espace vectoriel des suites (ou plus généralement de fonction ) on appelle ça convergence le fait suivant :
si on a une suite de suite
Si on veut parler de convergence normale ou uniforme on prend une norme, mais sans ça je n'ai pas vu trop de norme sur
edit : j'ai rien dit
En fait je pense que je vais poser la question différemment. Si j'enlève le mot "base" et que je dis "par somme dénombrable coefficientée où un même vecteur de la famille n'apparaît qu'un nombre fini de fois on génère tout l'espace vectoriel" (en gardant le fait que la famille est libre bien entendu (ah je dois redéfinir libre aussi : il n'y a pas de somme infinie comme décrite au dessus (nombre finie de fois le même terme etc.) qui génère 0 sans que tous les coefs soient nuls)).
Et là je pose la même question. ^^
Bonjour.
A priori, si on a mis en place les bases hilbertiennes, ce n'est pas par hasard.
Mais tu peux poursuivre ta réflexion. Pour l'instant, il semble que tu as du mal à définir clairement de quoi tu parles. Il serait intéressant que tu précises les définitions (je ne sais pas trop ce que tu appelles "somme dénombrable coefficientée"), ce qui nécessite d'y réfléchir un peu plus; et aussi un exemple.
Rappel : les bases infinies, ça existe (par exemple les puissances de X pour les polynômes réels), dénombrables ou non.
Cordialement.
Okay je reformule le problème depuis le début (même si on peut le prendre tel quel, je ne vois pas trop de problème, simplement je le généralise un peu) :
Mettons que j'ai E un ev de dimension infinie, et une famille dénombrée
Si j'ai un vecteur qui s'écrit (d'une unique manière en prenant les projections) avec cette famille :
une suite de vecteurs
peut-on dire au sens de la convergence simple
L'exemple : la famille des kronecker comme définie un ou deux messages au dessus et un espace de suites sur un corps quelconque.
La convergence simple n'est pas définie dans les espaces vectoriels quelconques... Ce que tu nous propose dépend à priori de la famille choisie.
Pour toi, ça voudrait dire quoi qu'un vecteur u_n converge simplement vers u ?
à la base, je me disais "tiens, peut-on dire ça ?", parce que finalement la convergence simple j'en avais pas une grande idée topologique, ça semble pas plus adhérant dans le cas d'une suite que dans le cas d'un vecteur quelconque.
Du coup j'ai essayé de définir une norme qui corresponde à la convergence simple. Si ça se trouve c'est du gros n'importe quoi mais allons-y quand même :
Donc on prend la suite
En notant
Et on note
On note alors
On définit alors
Faut avoir une valeur absolue sur le corps, mais sinon je trouve que ça correspond à une norme et que selon cette norme la suite
Mais j'écris ça peut de temps après y avoir réfléchis donc bon il peut y avoir un cas que je n'ai pas du tout prévu...
tu as définis une convergence simple par coordonnées, mais pourquoi la limite est dans l'espace? Pourquoi les vecteurs u_n= b_1+.... b_n converge dans l'espace vectoriel? Pourquoi la "projection" sur la base est unique? si elle ne l'est pas dois je prendre des classes d'equivalence? comment je définis des classes d’équivalence sans distance?
la convergence doit avoir une condition supplémentaire, ou les coordonnées u(n)_i doivent etre nulles pour i assez grand, et cela quelque soit le n.
Bonsoir.
Que veut dire :?une famille dénombréede vecteurs de E qui est génératrice par combinaisons linéaires dénombrables et libre par combinaisons linéaires dénombrables.
Le "Un peu comme une base hilbertienne" qui suit n'explique rien. Car soit c'est une base hilbertienne, et on sait comment travailler, soit c'est autre chose, et tu ne dis pas quoi.
Pour toi c'est simple, évidemment, puisque tu as une idée dans la tête. Mais justement, ce n'est simple que parce que tu ne cherches pas à transformer cette idée en mots précis pour lui donner du sens. Malheureusement, très souvent, quand on fait ça l'idée se révèle sans intérêt, ou très connue, ou sans signification.
J'ai essayé de t'aider à faire ce travail, tu te contentes de mots non définis (en gras) et de comparaisons sans signification pour les autres.
Dommage !
NB : Dans ton message #8, qu'est-ce qui t'empêche de prendre une base hilbertienne ?
Dernière modification par gg0 ; 07/11/2014 à 22h42.
Je ne savais pas que vous attendiez une définition, je pensais que vous vouliez le sens de mes propos (ce qui n'est pas du tout pareil, une définition peut être complètement abscone.) Je ne prétends (c'est tout le contraire) absolument pas savoir des trucs ou présenter quelque chose d'intéressant : j'essaie de dire ce que je pense sur cette question pour qu'on puisse me dire si je n'ai absolument rien compris ou si j'ai oublié un truc etc. Vous avez l'air dans cette démarche là et je vous en remercie, sachez simplement que je n'avais pas bien compris votre demande : dans ma tête j'ai juste pris combinaison linéaire et j'ai poussé le truc à l'infini, ça ne va tellement pas plus loin que je n'ai pas compris que vous en vouliez une définition précise ; à mon avis je dois faire un contre sens ou prendre à la légère la condition orthogonalité des bases hilbertiennes mais quelque chose qui vous fait croire ne pas comprendre.
combinaison linéaire dénombrable d'une famille dénombrable
Donc oui ça ne marche pas pour toutes les familles, mais la famille que j'ai prise dans mes précédents messages est par hypothèse telle que :
(c'est prendre la définition de libre et générateur avec une combinaison linéaire dénombrable).
Désolé,
mais ce n'est pas pour rien que je te demande une définition. Tu manipules des sigma, des indices, ... mais ce n'est qu'une écriture. Une somme finie de vecteurs, c'est bien défini. Une somme infinie, non. C'est pour cela que dès le début il t'a été demandé quelle norme tu utilisais : La norme permet de définir une notion de convergence qui donne un sens aux séries.
Donc tant que tu n'as pas défini formellement ces sommes dénombrables, ça n'a aucun sens.
Désolé.
Okay, et que penses-tu de mon essai de norme au dessus ?
enfin je devrais reformuler parce que j'utilise des sommes infinies avant la norme, mais avec des projections on devrait s'en sortir,
Je ne vais pas essayer de comprendre quelque chose dont tu dis toi-même que c'est fait de travers
Là encore, tu vas plus vite que la musique. Tu proposes des écritures, mais as-tu vérifié que tu définissais une norme ? Au fait, sur quel espace vectoriel ?
Non, inutile de répondre à ces questions, mais si tu te lances dans une nouvelle construction, pose-toi ces questions avant qu'on te les pose. Si tu ne peux pas y répondre, c'est que tu ne sais pas ce que tu fais, et à force de proposer des "constructions", des "idées" sans signification, on finit par passer pour un hurluberlu (j'en connais quelques uns sur des forums).
Cordialement.
ok j'ai compris l'importance de l'orthogonalité.
Je prends donc une base hilbertienne (bi) de l'espace E.
Je prends ui les projections orthogonales sur les bi.
Et je prends la norme que j'ai définie précédemment.
Je n'ai défini la norme que sur une suite donc ça ne change pas la construction, simplement les conditions changent.
...........Tu proposes des écritures, mais as-tu vérifié que tu définissais une norme ?
