bonjour tout l monde,si quelqu'un pourrait m'aider je serai très contente
, bon je bloque depuis un jour dans une question d'un problème des espaces vectoriels normés, on me demande de démontrer qu'une partie compacte et discrète est finie. je n'ai jamais entendu parler de ces deux notions elles ne font pas partie de mon cours. si qqn peut me clarifier les choses un peu.
merci d'avance
Dans ce cas, commencer par regarder la définition de ces deux notions me semble indispensable, sinon l'exercice n'a pas de sens. Rappels :je n'ai jamais entendu parler de ces deux notions elles ne font pas partie de mon cours.
1) Un sous-ensemble D d'un espace vectoriel normé (ou même topologique) E est discret si pour tout x de D, il existe un voisinage (ou un ouvert) de x dans E ne contenant aucun autre élément de D que x.
2) Un ensemble D est compact si il est fermé et que de tout recouvrement ouvert de D on peut extraire un recouvrement fini :
Soitune famille d'ouverts recouvrant D, c'est à dire
A partir de là la preuve est simple : tu prends pour chaque élément de D un ouvert qui ne contient que lui, puis de cette famille d'ouverts, tu en extrait un sous recouvrement fini. Comme chaque point de D est dans ce sous recouvrement, et que chaque ouvert de ce recouvrement ne contient qu'un point de D, les points de D sont en nombre fini. Preuve à formaliser
Merci infiniment
