partie compacte fermée

[invite84da8cb7]

Bonjour tout le monde ,

je suis en train de lire la démonstration de la propriété (A compacte => A fermé) et je ne la comprends pas.

demo: si une suite de A converge vers l alors elle admet une seule valeur d'adhérence l , qui doit être dans par la compacité.

Je ne vois pas en quoi cela implique que A est fermée.
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[Seirios]

Bonjour,

Il serait bon de préciser le cadre dans lequel tu travailles : les espaces métriques ? Si c'est le cas, un ensemble F est fermé ssi, toute suite convergente prenant ses valeurs dans F, converge dans F.

[invite84da8cb7]

je suis dans un espace vectoriels normé

[invite84da8cb7]

ok je crois que j'ai compris et ça marche aussi dans un espace vectoriel normé . Pouvez-vous s'il vous plait m'expliquer pourquoi ça ne marche pour un ouvert ?

je crois que c'est parce que dans un ouvert une suite peut converger vers linfini. ai je raison ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Cela peut marcher pour un ouvert : En travaillant dans , est lui-même un ouvert, et toute suite convergente converge bien évidemment dans (c'est tautologique). Il ne faut pas croire qu'un ensemble est soit fermé soit ouvert, ces deux propriétés ne s'excluent pas. Par contre, si une partie n'est pas fermée, on pourra toujours une suite convergente qui ne converge pas dans cette partie. Par exemple, converge dans mais ne converge pas dans ou (la première partie n'est ni ouvert ni fermée, la seconde est ouverte).

[invite84da8cb7]

ok . merci.