Série de Taylor et de Laurent

[invitee0960580]

Bonjour,

On me demande de déterminer le développement en série de Taylor et de Laurent de la fonction

f(x) = 1/(z² + iz + 2)

autour du point z0 = -i.

Je trouve les deux singularités: z1= i et z2 = -2i.
Mais ensuite comment faire?

J'ai commencé par faire un dessin avec mes deux singularités et je vois que la série de Taylor autour du point z0 = -i s'applique sur le domaine à l'intérieur du cercle C: z+i = 1.
Mais comment faire apparaître ce z+i dans ma fonction afin de pouvoir utiliser l'égalité 1/(1-(z+i)) = Somme de n=0 à n=infini de (z+i)^n ?

Et quel est le domaine du développement en série de Laurent autour du point z0 = -i ?

Merci d'avance et joyeux noël!
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[acx01b]

salut,

tu sais dériver (n fois) a / (z - b) aussi facilement que 1 / z

donc tu sais écrire sa série entière autour de n'importe quel z_0

ça donne quoi ta décomposition en éléments simples pour f(z) ?

[invitee0960580]

Pourquoi dériver ?

Quand je décompose f(z) en éléments simples ça donne i/(3(z-i)) - i/(3(z+i))... Mais je crois pas que ça aide pour écrire une série...

[acx01b]

tu as

f(z) = a/(z-b) + c/(z-d)

en posant s = z - b :

f(s) = a/s + c/(s-(d-b))

a/s tu sais écrire sa série de laurent, et c/(s-(d-b)) tu sais écrire sa série de taylor qui converge pour |s| < |d-b|
(dans ce cas précis tu utilises 1/(1-x) = somme des x^k tu ne dérives pas c/(s-(d-b)) par rapport à s je suis d'accord,
mais avec du c/(s-(d-b))^5 tu aurais du penser à la dérivée n-ième ?)

[A voir en vidéo sur Futura]