Dérivée logarithmique

invitef6757cc3 · 23/12/2013, 21h24

Bonjour,

J'ai cherhcé sur le net et sur le forum la démonstration de la dérivée du logarithme, à savoir :

$\text{[math]}$

C'est le dernier membre de l'égalité qui bloque. Je ne vois pas par où passe l'auteur.

P.S.: Je cherche la démonstration d'origine de la dérivée logarithme, donc les trucs genre $\text{[math]}$ , ou toute démonstration se servant du logarithme népérien.

**acx01b** · 23/12/2013, 22h09

j'ai dit n'importe quoi...

**acx01b** · 23/12/2013, 22h14

prends un cours de terminale S ça passe par l'exponentielle

en gros il faut prouver que la dérivée de la réciproque de l'intégrale de 1/x de 1 à x est sa propre dérivée..

(à condition que tu aies défini ln(x) comme étant l'intégrale de 1/x de 1 à x)

à l'envers : tu définis exp(x) comme étant la fonction puissance qui est sa propre dérivée, et tu montres que la dérivée de sa réciproque est 1/x

**VirGuke** · 23/12/2013, 22h21

Soir,

T'es sur de ne pas avoir introduit des coquilles?

Pour moi :
$\text{[math]}$

La fin c'est juste une dérivée composée.

Edit : C'est juste pour prouver la dérivée de log à partir uniquement de la propriété log(a) + log(b) = log(ab)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitef6757cc3 · 24/12/2013, 09h26

Non, je me suis mal exprimé. Visiblement, l'auteur cherche à passer par la définition des limites (la dérivée en étant un cas particulier). Donc je voudrais la démonstration, mais sans utilisation des notions de dérivées et sans passer par l'exponentielle.
(Puisque l'exponentielle est définie à partir de du logarithme, et non pas l'inverse). Donc on doit pouvoir y arriver sans passer par les dérivées (puisqu'avec les dérivées composées, tu passes par la dérivée du logarithme, mais c'est justement ce qu'on cherche à démontrer, c'est le serpent qui se mord la queue).

P.S.: Et non, c'est comme ça que c'est écris sur le livre de l'auteur.

**VirGuke** · 24/12/2013, 10h27

Salut,

Précise clairement tes hypothèses et ce que tu veux parce que je ne comprends pas bien là. Tu cherches à exprimer la dérivée du log ou tu cherches une primitive de 1/x ?

Le ln et l'exponentielle sont définis séparément, c'est après qu'on montre qu'ils sont la réciproque l'un de l'autre.

Ce que je t'ai écrit ça part uniquement de la définition log(ab) = log(a) + log(b) ça ne fait pas jouer l'exponentielle ou quoi que soit d'autre et à partir de là tu prouves que la dérivée d'une fonction qui vérifie cette propriété c'est c/x.

Après tu te rends bien compte que log(1 + 1/x) n'admet pas de limite en 0 ?

invitef6757cc3 · 25/12/2013, 11h11

Mais justement c'est la dernière partie que je ne comprends pas. Il arrive à :
$\text{[math]}$
(je n'ai fait que traduire le dernier terme en limite). Mais du coup je ne comprends pas. Je ne vois pas d'où sort ce $\text{[math]}$ .
Même mettre en facteur je n'y arrive pas. J'ai essayé de passer par la notion d'intégrabilité selon Riemann, trop compliqué au final :s.

Du coup, je sèche.

P.S.: Formellement, oui, la fonction que tu m'as proposé n'admet pas de limite en 0 (la limite à gauche et à droite différente, l'une infini et l'autre non défini). Ceci dit je n'ai pas essayé avec la définition des fonctions composés, ce que tu as l'air d'avoir fait. Je vais donc essayer. Merci de l'aide

.

**VirGuke** · 25/12/2013, 11h19

Mais mais mais, c'est sous ton nez!!

Comment est-ce que tu calculerais la dérivée en 0 de log( 1 + x/a ) ? Ecris le sous forme de limite et avec les règles de calcul usuelles.

invitef6757cc3 · 26/12/2013, 09h19

Ben le problème c'est que je ne vois pas le rapport avec la dérivée composée. Désolé, mais pourrais-tu écrire la solution formellement, là ça ne passe pas décidément pas.
$\text{[math]}$ . Si l'on suppose x=0, on a :
$\text{[math]}$ . En x=0, on a :
$\text{[math]}$ . On sait que $\text{[math]}$ au voisinage de 0. Donc :
$\text{[math]}$ . Mais je ne vois pas le rapport :s .

Tu parles de dérivée composée, mais je ne vois pas où elle est. Tu écris :
$\text{[math]}$ (Le dernier memebre étant juste une autre écriture de : $\text{[math]}$ ). Je ne vois pas l'égalité. Après ton dernier terme je vois.

invitef6757cc3 · 26/12/2013, 09h47

Ca y est je crois avoir compris. Ce n'est pas plutôt ça que tu voulais écrire ?
$\text{[math]}$ . Parce que comme ça je trouve du coup :
$\text{[math]}$ . Du coup là je retombe jusqu'où j'étais arrivé.
Ensuite, en posant $\text{[math]}$ , ce qui donne u(0)= 1.

On a par les dérivées composées :
$\text{[math]}$ . Or, on a :
$\text{[math]}$ . Ce qui donne :
$\text{[math]}$ . Soit au final,
$\text{[math]}$ .

Est-ce correct ?

**gg0** · 26/12/2013, 09h55

Bonjour.

Si l'on suppose x=0, ..

Bizarre, il me semblait que Log_a n'est justement pas définie en x=0.

Rappel :
$\text{[math]}$

Cordialement.

**ansset** · 26/12/2013, 10h00

j'écrirai simplement
x=exp(ln(x)) et en dérivant
1=ln'(x)exp(ln(x))=x*ln'(x) ( en sachant e'(x)=e(x) )
donc ln'(x)=1/x
par contre en base a
lna(x)=ln(x)/ln(a) donc
lna'(x)=1/(x*ln(a))

**ansset** · 26/12/2013, 10h11

pardon, je vient de lire que tu voulais pas utiliser les exponentielles.

invitef6757cc3 · 26/12/2013, 10h12

Justement, le but c'était de na pas utiliser l'exponentielle. Le logarithme a été définis AVANT l'exponentielle. Il n'y a donc pas de raison de faire sa dérivée à partir de l'exponentielle.

De plus, $\text{[math]}$ n'est pas définis en zéro, par contre, $\text{[math]}$ est parfaitement définis en zéro.

**gg0** · 26/12/2013, 10h29

De plus, $\text{[math]}$ n'est pas définis en zéro, par contre, $\text{[math]}$ est parfaitement définis en zéro.[/QUOTE]
Mais on ne peut pas avoir les deux dans le même calcul. Dans ton calcul initial, x est un réel strictement positif. Si tu utilises encore x pour désigner autre chose, ce n'est plus la peine d'essayer de comprendre. Et si c'est le même, il est définitivement non nul.

**VirGuke** · 26/12/2013, 11h01

Bonjour,

Joshlord, ton raisonnement sur le post 10 est correct.

gg0, son (celui de Joshlord ^^) post 9 est à jeter à la poubelle, c'est moi qui l'ai induit en erreur avec la notation log(1+x/a), il corrige le tir dans le 10 en reprenant la bonne notation.

**ansset** · 26/12/2013, 11h02

je comprend ton souhait de respecter l'historique mais pour arriver au résultat final tu devras faire apparaitre ln(a)
or, le log népérien a été défini comme l'aire sous la courbe de 1/x.
par ailleurs les dérivées sont apparues plus tard.
enfin, je crois que je saisi mal ce qu'on a droit ou pas de faire.

**VirGuke** · 26/12/2013, 11h05

Le jeu c'est de prouver que si f(ab) = f(a) + f(b) alors f'(x) = f'(1)/x.

**ansset** · 26/12/2013, 11h18

d'accord je viens de comprendre !

invitef6757cc3 · 26/12/2013, 13h33

Bon ben si c'est bon c'est cool. Et oui, puisque du coup la définition du logarithme est (à une constante mutliplicative près).
f(ab)=f(a)+f(b) ==> $\text{[math]}$

En tout cas merci virguke, je n'aurais jamais trouvé seul ^^.

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