Commutant d'un endomorphisme

[invitedb34050e]

Bonsoir,
svp je me bloque sur cet exercice:
soit u un endomorphisme d'un ev E de dimension finie
on suppose que u est diagonalisable. On note a1,....,ak les valeurs propres distinctes de u et m1,...,mk leurs multiplicités respectives.
Montrer que C(u) = m1^2+....+mk^2 ( C(u) est le commutant de u)

je prend un endo v appartenant à C(u)
Je considère l'application f: C(u)----------->L(Ea1(u)).....L(Eak(u)) (avec : Eai(u) les sous espaces propres de u)
v -----------> (v1,......,vk) (avec: vi l'endo induit par v sur Eai(u))
si je montre que f est un isomorphisme , le résultat en déécoule mais comment montrer cela?
Merci ^^
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[Seirios]

Bonjour,

Déjà, il faudrait éclaircir ce passage :

Montrer que C(u) = m1^2+....+mk^2 ( C(u) est le commutant de u)

Pour moi, le commutant d'un endomorphisme est l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec lui. Pourtant, tu es en train d'égaler un commutant avec un nombre.

[invitedb34050e]

bonjour
oui désolé en fait c'est dim (C(u))=m1^2+....+mk^2

[Seirios]

Je trouve qu'il est plus simple de raisonner avec des matrices :

Déjà, quitte à tout conjuguer par une matrice inversible, tu peux supposer u diagonale par blocs où les blocs sont des homothéties. Ensuite, en remarquant que les sous-espaces propres de u sont stables par v, tu peux en déduire que v (dans le même base) est une matrice diagonale par blocs. Maintenant, ces blocs peuvent être quelconques puisque toute matrice commute avec une homothétie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb34050e]

Merci beaucoup j'ai compris mais après comment en déduire la dimension?

[Seirios]

Tu as blocs de tailles respectives . Dans chacun de ces blocs, tu peux mettre ce que tu veux, donc si tu égales un coefficient à 1 et les autres à 0, tu obtiens une base de ton espace de solutions.

[invitedb34050e]

tu obtiens une base de ton espace de solutions.

svp Comment?

[Seirios]

J'en ai déjà donné une indication. Si tu ne vois pas comment faire, peut-être devrais-tu essayer sur des exemples en petites dimensions.