Mauvaise application du théorème des résidus ?

[invite9cf8e590]

Bonjour à vous

Désolé de vous déranger mais j'ai un problème qui me taraude l'esprit sur l'utilisation du théorème des résidus. Déjà je m'excuse mais je n'ai pas Latex avec moi (et je suis sur mon portable) donc pour écrire des maths c'est un peu compliqué :/

En fait je cherche à calculer l'intégrale de x^(a-1)/(x+1) où 0<a<1 entre 0 et +oo qu'on note Ia.

Si on note f(z)= z^(a-1)/(z+1)
On voit alors que f admet un pôle en 0 et en 1. Or le résidu de f en 0 est nul et d'après l'esprit de la question je me suis dit qu'il fallait exploiter le pôle -1. M'en voilà parti à la recherche d'un contour adéquat et effectivement jai trouvé le contour suivant avec (eps,R) deux réels tels que 0<eps<1<R :

• le demi cercle défini par module de z vaut eps et Re(z)=<0.
• le segment qui rejoint le point (0,i*eps) et le point (sqrt(R^2-eps^2), i*eps) -> c'est le segment qui redonne l'intégrale voulue de 0 à R lorsque eps tend vers 0.

• on fait la même chose par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

• enfin pour terminer ce chemin fermé, on a deux choix en prenant un arc de cercle centré en 0 et de rayon R. Soit on ferme en entourant -1 (car R>1) soit on ferme en entourant 0.

Et de là vient mon problème car si on entoure -1 tout se passe bien et on trouve un résultat non nul cohérent. Mais si je choisis d'entourer 0 alors selon moi les calculs restent identiques (car la seule différence vient du dernier arc de cercle et on peut majorer l'intégrale sur cet arc module par l'intégrale sur le cercle entier qui tend vers 0 ne R diverge) mais le résidu est alors nul. Donc j'obtiens que l'intégrale initiale est nulle et je ne vois pas où mon raisonnement est faux.

Voilà, merci énormément à vous d'avoir pris la patience de lire un long message de maths même pas écrit en latex. Excellente journée!!!
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[invite9cf8e590]

Ah j'ai enfin accès à mon ordi, alors voilà de quoi rendre le problème plus attrayant (et lisible ^^). En fait ce qu'on cherche à évaluer c'est :

avec du coup tel que .

On pose donc .

Et du coup mon chemin fermé avec je le rappelle ça donne :



Des amateurs du dix de chute ?

Donc ma question c'est : le chemin 1 ça marche on est content mais pourquoi le chemin 2 lui ne fonctionne pas ?

[breukin]

Ce n'est pas un demi-cercle qu'il faut prendre, mais un cercle complet, et donc deux segments sur l'axe réel, parcourus dans le sens contraire, mais dont les intégrales s'avèreront ne pas être opposées.

Donc segment de à avec , puis cercle de rayon , argument allant de à , puis segment de à avec , puis enfin cercle de rayon , argument allant de à .

[invite9cf8e590]

Je crois que j'ai résolu mon problème si jamais ça intéresse des gens... En fait ça vient de la détermination principale de . Dans tout l'exercice on utilise le fait que lorsque . Bien évidement cette détermination n'est vrai que sur privé de et donc on n'a pas le droit de coupé l'axe des abscisses en R comme je le proposais pour cette raison.

Bonne soirée à tous!

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Ah, j'ai mieux compris la question.
n'existe de manière holomorphe que dans un plan muni d'une coupure partant de 0. Donc tout contour entourant 0 coupe la coupure, quelle que soit la manière de la choisir.

[invite9cf8e590]

Si on regarde bien c'est exactement ce que je prends comme contour mais je ne peux pas prendre directement les deux segments allant de epsilon à R car dans ce cas les intégrales seraient strictement opposées... Enfin de toute façon on ne peut pas pour la raison que j'ai cité de détermination de la puissance.

[invite9cf8e590]

Bon j'arrive pas à éditer mes réponses... Tu pourrais m'explique le concept de coupure? Je ne vois pas ce que c'est donc je ne comprends pas l'argument sur l'holomorphie de . :/

Mais merci de ta réponse en tout cas

[breukin]

Justement non, les intégrales ne sont pas opposées ! Toute l'astuce est là !
Sur la valeur supérieure du segment :

Sur la valeur inférieure du segment, quand on fait le tour en sens direct, l'argument passe de 0 à

[breukin]

Parce que si 0<a<1, la fonction n'est pas holomorphe dans C privé de 0 et -1. Elle est holomorphe dans C privé des réels positifs et de -1.

[invite9cf8e590]

Mmmmmh d'accord merci beaucoup!!!

Juste une question, par hasard, la dernière intégrale qui va de R à , elle serait pas égale à
? Car sinon ça donne un signe moins quand on factorise avec l'autre alors que l'intégrale doit être positive... Je ne vois pas pourtant où est l'erreur.

[breukin]

Non, puisque en partant de l'axe réel avec argument 0, on tourne dans le sens positif pour arriver à l'argument 2pi.

Je pense que vous avez déterminé que les deux intégrales sur les cercles tendent vers 0.

Donc l'intégrale sur le contour total vaut d'une part, et vaut par les résidus ou par un petit contour autour de -1.
(On a , , , , et le cercle est parcouru dans le sens direct)

Donc