Extension de corps : le degré

[invite33c0645d]

Bonjour,

J'ai un petit souci avec les extensions de corps et plus particulièrement sur une propriété à propos des extensions de corps. Prenons des complexes algébriques sur .

Le but est de montrer que .

Dans un premier temps j'essais de prouver ce résultat ne serait-ce qu'avec deux complexes z_1 et z_2. J'ai décomposer l'extension

en deux sous extensions



J'ai essayé d'analyser les polynômes minimaux sur chacuns des corps mais je n'obtient qu'une inégalité au lieu d'une divisibilité.

Il me semble que ce soit un résultat classique (cela paraissait évident dans le livre que je lis). Qu'en pensez vous ? Pouvez-vous me guider vers une solution ?

Cordialement,

Suite2
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[Seirios]

Bonjour,

Il me semble bien que . D'ailleurs, ce ne doit pas être bien difficile à montrer : si on a trois corps , alors il suffit de jouer avec les bases pour trouver la dimension de sur en fonction des dimension de et sur et respectivement.

[invite33c0645d]

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Mon problème n'est peut être pas assez bien formulé. Mais la question que je pose n'est pas comment prouver la multiplicativité des degrés, mais plutôt la chose suivante.

Etant donné deux nombres z_1, z_2 complexes algébriques sur les rationnels, a-t-on l'affiramtion

"il existe un entier m tel que " ?

J'ai envie de dire que oui, mais pour une preuve en revanche : "gloups". Déjà il est clair qu'on a , mais la divisibilité me semble moins évidente. Du moins j'ai des raisons de penser que la divisibilité est juste (sans doute sous d'autres hypothèses), mais pas nécessairement dans le cas général (mais je n'ai pas non plus de contre exemple).

Merci encore pour votre participation.

[Seirios]

Effectivement, j'ai mal lu la question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33c0645d]

Pas de souci! Et merci quand même pour la réponse

[Seirios]

Je fais un essai :

On a mais aussi , d'où on déduit que . Le problème revient donc à montrer que divise .

D'après mes souvenirs de théorie de Galois, je dirais que ces deux extensions sont galoisiennes, de sorte que (resp. ) est l'ordre du groupe (resp. ) des automorphismes de (resp. ) qui fixe (resp. ). Maintenant, on a une injection naturelle puisque et , donc l'ordre de divise l'ordre de .

[invite33c0645d]

Bonjour,

Merci pour votre réponse. J'ai commencé à reprendre chacuns de vos arguments, et j'avoue avoir un petit hic sur l'injection .

Pour reprendre tout depuis le début. J'avais aussi pensé à la théorie de Galois, mais il me semble qu'on ne peut pas supposer que les extensions sont galoisiennes même si l'on suppose que l'extension l'est. En effet, prenons par exemple

. Cette extension est clairement galoisienne (tous les conjugués d'un élément de reste dans cet ensemble). Pour autant la sous-extension
ne l'est pas du tout. Car est un conjugué de .

J'ai tout de même laissé entendre qu'on pouvait modifier les hypothèses de mon énoncé. Admettons que chacune des sous extensions est une extension galoisienne. Je suis tout à fait d'accord avec vous sur le fait qu'on puisse introduire les groupes de Galois G_1 et G_2 comme vous l'avez proposé. Pouvez-vous me dire si j'ai bien compris votre argument ?

Etant donné un automorphisme qui laisse fixe , vous dite qu'en particulier laisse fixe . Or pour construire il faut et il suffit de se donner un conjugué de dans l'extension .

Comment faites-vous pour justifier que reste bien dans ? Il se pourrait qu'un conjugué de x dans ne soit pas dans bien que les extensions soient toutes galoisiennes.

En tout cas merci pour cette avancée, je continue de poursuivre mes raisonnements en me basant sur vos propositions

[Seirios]

Mes souvenirs de théorie de Galois semblent bien loins, il y a effectivement de sérieux problèmes dans mon argument. En voici un second, dans lequel il y a également des trous, mais peut-être peut-il mener à quelque chose :

Soient algébriques sur le corps des rationnels . Notons le polynôme minimal de sur , le corps de scindement de , et .

J'ai envie de dire que tout automorphisme de peut se prolonger sur tout entier (en écrivant sous la forme ), de sorte que l'on a une injection . L'action par multiplication à gauche de sur découpe l'orbite en orbites de cardinal .

Comme est galoisienne, dans . De même, si est galoisienne, est le polynôme minimal de dans .

Ainsi, et . Par conséquent, divise .

Comme je l'ai dit, il y a plusieurs détails que je n'ai pas vérifiés, c'est juste un argument qui m'est venu après avoir considéré quelques exemples simples (mais peut-être trop simples justement).

[invite33c0645d]

Merci beaucoup pour votre nouvelle proposition, je regarde cela ce soir, et j'essais de compléter les trous. Je vois assez grossièrement votre argumentation, j'y reviens tout à l'heure en détails avec un papier et un crayon.

Je vous remercie encore pour vos réponses.

[invite33c0645d]

J'ai encore quelques souci que j'ai essayé de corriger, mais alors la suite du raisonnement devient "trivial".

On appelle l'extension induite par le corps des racines du polynôme minimal . Cette extension de est galoisienne. Pourquoi y aurait-il l'élément dans ce corps ? Admettons que ce soit le cas. On en déduit que (n'étant pas un rationnel) est nécessairement un conjugué de . Donc .

Plus loin on suppose que est galoisienne. Ce qui implique en particulier que tous les conjugués de y (donc aussi x) est dans le corps qui égale donc . Par suite, et donc . Dans ce cas la preuve de la divisibilité est triviale. Je vais essayer de poursuivre un peu en suivant vos idées qui me semblent correctes dans le fond.

J'espère donner une réponse d'ici peu pour en finir avec cette conversation (pas parceque je ne suis pas content de discuter avec vous au contraire ! Tout simplement j'espère qu'on trouvera une solution à ce problème )

A bientôt et merci encore pour votre aide.

Suite2

[invite33c0645d]

Désolé de remonter le sujet si tard, mais je pense avoir une réponse !

Mon affirmation est fausse !

Prenons le polynôme irreductible sur , . On note le corps de décomposition de . Pour des raisons de perfection du corps , on en déduit que

est une extension galoisienne. Son groupe de Galois est un sous-groupe de donc son cardinal divise . Puisque est une extension strictement réelle et que possède un nombre non réel, une analyse pas très compliquée permet de montrer que le groupe de Galois ne peut as être d'ordre 3, et donc il est de cardinal 6 (en effet, |G| \geq 3 car 2^{1/3} induit une extension de degré 3 de Q).

En bref, on a . Or chacunes des extensions qui suivent,
, et
sont de degré 3. Donc le produit de ces degrés vaut exactement 9.

Malheureusement, 6 ne divise pas du tout 9...