extension de corps

[invite80487107]

j'ai lu mon cours mais lorsque je voulais résoudre cet exercice je n'ai pas pu voila l'exo:

soit Q(X) le corps de fraction de a=(X^3)/(X+1)

1: montrer que Q(X) est une extention algébrique de Q(a) ??
2: déterminer [ Q(X) : Q(a) ]??

ce que je sais c'est qu'on doit montrer que pour tout élément X de
Q(X) il existe P dans Q(a)(y) tel que P(X)=0

est que il y a une méthode pour déterminer les P d'une manière générale ??
et pour 2:
si le polynome P trouvé est irréductible alors
[ Q(X) : Q(a) ] = deg( P )
aidez moi SVP
merci d'avance
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[invite57a1e779]

Il faut commencer par remarquer que est algébrique sur , puisque , c'est-à-dire que pour .

[invite80487107]

mais pour un autre élément de Q(X) par exemple X^2 + 1 comment trouvé son polynome P tel que P( X^2 + 1 ) = 0 ??
l'existanec de P vient du faite que l'ensemble des élements algébrique et un sous groupe

[invite80487107]

dsl je veux dire que l'existence de P du au faite que l'ensemble des éléments algébrique est un groupe

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Il me semble même que l'ensemble des éléments de Q(X) qui sont algébriques sur Q(a) est un corps.

[invite80487107]

oui oui vous avez raison merci