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Borne supérieure



  1. #1
    Mirelvi

    Borne supérieure


    ------

    Bonjour, pouvez-vous m'aider à résoudre l'exercice suivant? Je ne sais pas par où commencer, voici l'énoncé:
    Montrer que A+B={x=a+b, a appartenant à A et b appartenant à B} est une partie non vide et bornée de R et que sup(A+B)= sup A+ sup B
    et que inf(A+B)=infA=infB

    Merci de votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    rhomuald

    Re : Borne supérieure

    Salut,

    essaies par double inégalité, et précise les inégalités où tu bloques.

  4. #3
    Mirelvi

    Re : Borne supérieure

    ben en fait pour démontrer que sup(A+B)=supA+supB, j'ai réussi à le démontrer, de la manière suivante:
    A et B sont majorées donc A et B admettent des bornes supérieures. Pour tout x appartenant à (A+B) on a x<=(sup A+sup B). Donc A+B est majorée. sup(A+B) est le plus petit des majorants donc sup(A+B)<= sup A+sup B.
    Soit x appartenant à A et y appartenant à B. On a x<=supA et y<=supB donc x+y<=sup A +supB. donc M=supA+supB est un majorant de A+B. Montrons que M est le plus petit des majorants de A+B. Pour tout E>0, il existe x appartenant à A et y appartenant à B tels que y>sup B - E/2 et x>sup A - E/2 on a donc: x+y>sup A + sup B - E. donc sup A + sup B= sup (A+B).
    Mais sachant que A et B sont des parties non vides de R et bornées, comment démontrer que A+B est une partie non vide et bornée de R?

  5. #4
    rhomuald

    Re : Borne supérieure

    A et B sont non vides, donc tu peux trouver un a dans A et un b dans B, et a+b est dans A+B, donc A+B est non vide.

    tu as montré que A+B admet une borne supérieure et que sup(A+B)=sup(A)+sup(B).
    Une fois que tu auras fait le même boulot pour la borne inférieure de A+B,
    tu pourras conclure que A+B est bornée dans IR.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Mirelvi

    Re : Borne supérieure

    ok!je te remercie.

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