Fonction usuelle

[invite72d1a654]

f(x)=arccos(1/racine de 1+x²)
svp quel est l'ensemble de definition de f ? est ce qu'on vas commencer par -1<1/racine de +x²)<1 ?
merci d'avance .
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[gg0]

Bonjour.

Pour que f soit définie, il faut que 1/racine de (1+x²) soit défini et que 1/racine de (1+x²) soit dans l'ensemble de définition de arccos.

Pour que 1/racine de (1+x²) soit défini il faut ...

C'est une simple lecture du calcul qui donne f.

Cordialement.

[invite625b63d0]

Bonsoir,
Tu sais déjà que la fonction arccosinus est définie sur [-1;1] (les inégalités ici sont larges non pas comme tu l'as mentionné "-1<...<1" en effet tu vas le voir, ça va te simplifier la chose).
Ensuite on s'intéresse à ce qu'il y a dans cette fonction, car effectivement, comme l'a dit gg0 pour que f soit définie il faut certes que arccos soit définie mais aussi ce qu'il contient.
On s'intéresse donc à "1/racine de (1+x²)", on a ici une racine il faut donc que "1+x²" appartienne à R+ mais vu qu'il est au dénominateur, il faut aussi qu'il ne soit pas nul donc "1+x²" doit appartenir à R+*. C'est gagné, car pour tout x∈R , 1+x² ∈R+* (on le démontre aisément). On peut alors affirmer que 1/racine(1+x²) > 0 > -1 donc il nous reste plus que la borne supérieure de la fonction arccosinus. Enfin tu peux ensuite résoudre l'inéquation (si tu veux être rigoureux) " 1/racine(1+x²) ≤ 1 " tu verras alors que c'est vrai pour tout x∈R (ce qui est logique car lorsque l'on divise 1 par quelque chose égal ou plus grand que 1 on obtient quelque chose de plus petit que 1).

Tu peux alors conclure que la fonction f est définie sur R.

En espérant t'avoir aidé, essaies quand même de travailler un minimum l'exercice avant de le poster ..

Cordialement,
Hugo.