Projet d'algèbre, autour du théorème des deux carrés de Fermat

[Alexinsa18]

Bonsoir, j'ai un soucis pour commencer le début d'un exercice... sur cette question :
Il faut "montrer la formule sommatoire"


Je vois pas comment partir, le fait que j soit au carré me gêne, c'est peut-être bête...


Alexis
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[neferet403]

Bonjour,

je pense que tu n'as pas tout mis, il doit y avoir une définition de l'ensemble F (ou alors c'est un ensemble que je ne connais pas).
Le principe est assez simple, tu as un polynôme qui contient toutes les puissances qui sont des carrés (donc 0, 1, 4, 9 etc ..). On met ce polynome au carré, et tu as donc une distribution sur l'ensemble des termes. Essaie de faire le calcul sur un petit exemple, avec n = 2 par exemple : tu developpes le carré de 1 + X^2 + X^4.
Le but est de montrer que ce polynôme est de degré 2n^2 : il est donc décomposable en utilisant les puissances de X jusqu'à 2n^2. Ensuite j'imagine qu'il y a une définition de l'ensemble F qui implique qu'il faut montrer que les termes non nuls de cette décomposition sont les puissances k tels que k appartient à F. En effet il y aura plein de ak qui seront nuls : toutes les puissances impairs par exemples.

[gg0]

Bonjour.

Il peut être intéressant de connaître l'identité remarquable qui se généralise en:


Cordialement.

[Alexinsa18]

Ah oui effectivement j'avais oublié de préciser F... Merci, je comprends déjà mieux de quoi il s'agit, j'avoue qu'en lisant ça me paraissait vraiment pas clair.

gg0, je ne connaissais pas cette généralisation avec des sommes, et je ne pense pas la comprendre pour le coup...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

La formule dit simplement que le carré d'une somme s'obtient en faisant la somme des carrés, puis additionnant tous les doubles produits possibles. Pour éviter de les prendre 2 fois, on a imposé de conserver l'ordre : Doubles produits des termes par tous ceux qui le suivent.
Comme l'identité à deux termes, il suffit de faire le calcul pour comprendre.

Cordialement.