Perpendiculaire commune à deux droites

[invited2cc2ee5]

Bonjour,

D'abord voila l'énoncé:

Déterminer l'équation de la perpendiculaire commune delta aux deux droites:

D{x=0 et D`{x+y=1
{2y+z=1 {x+z=3

Je ne sais pas comment prendre l'exercice.

J'ai essayé de résoudre le système:
si x=0 x+y=1 -> y=1 -> z=-1
or x=3+1=!0

donc ça fonctionne pas.

je sais que si delta est perpendiculaire

delta scalaire D et delta scalaire D` est nul

et que D et D` sont colinéaire donc le produit vectoriel de D D`est nul mais je sais pas comment organiser le coordonner pour effectuer mes calculs

cordialement
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[invitef29758b5]

Salut

J'ai essayé de résoudre le système:

Traduction :
Tu as calculé le point d' intersection des deux droite .

donc ça fonctionne pas.

Traduction :
donc les deux droite ne se coupent pas .
Ce qui était prévisible , car le problème ne se pose que si les droite ne se coupent pas .

[gg0]

Euh ... non, Dynamics.

Si les deux droites sont sécantes, il y a encore une seule perpendiculaire commune. Il n'y a que si elles sont parallèles qu'on n'a pas unicité.

Pour Ninaetc :

Essaie de visualiser la situation théorique : Tu as deux droites (D) et (D') de l'espace, que tu peux visualiser avec deux stylos, qui vont dans des directions différentes. On voit assez facilement qu'il n'y a qu'une seule droite de l'espace qui est perpendiculaire aux deux. On le démontre par exemple en prenant un point de (D) et en y faisant passer une parallèle à (D'); on obtient un plan défini par ces deux sécantes, et toute droite perpendiculaire à ce plan est orthogonale à (D) et (D'), ce qui permet de finir.
Tu as le choix entre reproduire cette preuve (après l'avoir finie) analytiquement, ou poser les conditions sur les équations paramétriques de ta droite pour qu'elle convienne. dans ce deuxième cas, avoir des vecteurs directeurs des deux droites peut se révéler utile.

Cordialement.

[invitef29758b5]

Non gg
Si les deux droites se coupent , elle appartiennent à un même plan .
Toute perpendiculaire à ce plan est perpendiculaire à toutes les droites qu' il contient .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5805c432]

D et D' ne sont pas colinéaires!!

D est définie comme orthogonal à e_1 et orthogonale a 2e_2+e_3.
donc D est // à e_1 x (2e_2+e_3) = -e_2 +2 e_3 = f_1

idem pour D' qui est orhtogonale à (e_1+e_2) et (e_1+e_3) donc // à (e_1-e_2 -e_3) = f_3

on voit alors que Delta est // à ( -e_2 +2 e_3) x (e_1-e_2 -e_3)= f_1x f_3= f_2 = 3e_1+e_2

enfin si Delta coupe D en A, et D' en B.
maintenant supposons que sont connus un point A' de D, et un B' un point quelconque de D'

on a en vecteur A'B'= A'A + AB + BB'
en fait A'A= alpha f_1
AB= gamma f_2
BB' = beta f_3
en fait alpha, beta et gamma sont la décomposition de A'B' dans la base f_1, f_2, f_3.
donc calculer cette décomposition donne A, B et la distance AB.

pour les calculer il suffit d'utiliser la règle de Cramer.


sinon méthode alternative. toujours avec A' un point de D. la droite Delta est dans le plan orthogonal à f_1 x f_2 passant par A'
et B' un point de D' , la droite Delta est dans le plan orthogonal a f_3 x f_2 passant par B'
ce qui donne l’équation des 2 plans assez trivialement

[gg0]

Non gg
Si les deux droites se coupent , elle appartiennent à un même plan .
Toute perpendiculaire à ce plan est perpendiculaire à toutes les droites qu' il contient .

Tu te trompes de vocabulaire. Des perpendiculaires sont des éléments géométriques qui se coupent (plans, plans et droites, droites coplanaires).
Toute perpendiculaire à ce plan est orthogonale aux deux droites, car parallèle à la perpendiculaire commune. Mais c'est le cas général : Toute parallèle à la perpendiculaire commune est orthogonale aux deux droites..

Le seul cas où il n'y a pas une perpendiculaire commune (mais une infinité) est le cas de droites parallèles (éventuellement confondues).

Cordialement.