D’où vient la définition de l’intégrale

[Coban]

Bonjour,
Depuis la terminale, on se sert de la formule pour calculer les intégrales, on nous a donné ça comme une définition, et donc jamais démontré.
Pourriez vous m'expliquer d'où sort cette relation?
Est-ce sensé être évident?
J'aimerais bien une explication géométrique permettant de visualiser le rapport entre aire et primitive exprimé ici.
Merci,

Coban
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[gg0]

Bonjour.

Cette définition est apparue au dix-septième siècle, et ne parle pas d'aire. Cependant, si f est une fonction positive et continue (tracé sans saut), on peut passer par l'aire pour voir comment ça marche :
On considère un x variable entre a et b, et on appelle G(x) l'aire de la surface comprise entre l'axe des x et la courbe pour des abscisses entre a et x. Donc G(a)=0 et G(b) est l'aire comprise entre la courbe, l'axe des x et le droites d'équations x=a et x=b.
On détermine la dérivée de G. On applique la définition :

Ensuite (fais le dessin), on voit que est une aire, l'aire d'une bande limitée par la courbe, l'axe des x et deux verticales, proches si h est presque nul. Et h est, en gros, la largeur de cette bande. Donc le quotient est, en gros, la hauteur de la bande, environ f(x). Cette approximation est d'autant plus précise que h est proche de 0, à la limite, c'est une égalité :

Alors, soit F une primitive de f. On sait que . Donc, pour x=a Et pour x=b, l'aire qu'on cherchait est
cqfd.

Mais saches que les intégrales ont bien d'autres significations possibles que des aires, elles interviennent chaque fois qu'on a un cumul dont on sait mesurer la vitesse. Et on les définit de façon très différente de ce que tu viens de voir, pour servir à de nombreux usages.

Cordialement.

[Coban]

Super! merci, j'ai compris,