définition d'une integrale

[invite423aa977]

Bonsoir,

Dans l'optique de m'entraîner pour le futur contrôle de calcul diff (vendredi) je prend le temps de faire les exercices de Td que le prof n'a pas corrigé. Cependant je reste assez dubitatif devant la véracité de l'énoncé.

Je vous expose mon problème rapidement:

On se donne f:[a,b] -> R dérivable et g:[a,b] -> R continue. Je dois montrer que l'application h définie sur [a,b] par:

h(x)= f(s)g(t-s)ds et dérivable et je dois calculer sa dérivée.

Premier problème de l'énoncé originel le fameux "t". Pour palier a se problème le prof nous dit de le remplacer par "x" pour que ça ressemble a quelque chose.

Me voici donc aujourd'hui devant ma feuille avec ceci:

h(x)= f(s)g(x-s)ds

C'est alors qu'un cas de conscience me foudroie et les souvenirs de prof de terminale et de sup ressurgissent: "Pas de "x" dans les bornes et à l'intérieur de l'intégrale".

Ma question est la suivante: cet objet peut il exister? (à priori à mon niveau (L3) je dirais non mais sait on jamais...). Si vous avez une idée sur le vrai énoncé (c'est peut être un classique cet exo) qui est à mon avis pas du programme de L3 mais plutot bac+1 (+2).

Merci
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[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

D'accord: ça ne veut rien dire. Les vraies bornes de l'intégrale devraient être [a,b], et la fonction est bien h(t) = intégrale de a à b de f(s).g(t-s).ds. Ca s'appelle un produit de convolution.

-- françois

[invite88ef51f0]

Salut,
Ca veut tout à fait dire quelque chose ! Le x est fixé quand tu calcules l'intégrale, donc ce n'est pas gênant

"Pas de "x" dans les bornes et à l'intérieur de l'intégrale".

C'est vrai quand x est la variable d'intégration. Ici ce n'est pas le cas : c'est s. Donc mathématiquement il n'y a pas de problème.

Maintenant, je pense comme Fderwelt que c'est très louche, ça ressemble fortement à un produit de convolution mais avec ces bornes ça n'en est pas un. Il est donc fort probable que la borne du haut ne soit pas x.

[invite4ef352d8]

le produit de convolution de la forme integral de 0 a x de f(t)*g(x-t) dt existe aussi... et sa ressemble beaucoup a l'enoncé.


qu'elle est le probleme posé par le fait que x apparait a la fois dans la borne et dans la fonction ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite423aa977]

Etant donné que je ne sais pas ce qu'est un produit de convolution je vais peut être pas cherché plus loin que l'énoncé pour répondre à la question.

Si l'existence de la primitive tel que tout marche bien n'est pas remise en cause par ce "x" l'exercice se fera comme tout autre exercice de la sorte. Cependant dans l'hypothèse ou ça marche bien je ne vois pas trop l'intérêt de l'énoncé et le rapport avec le calcul différentiel. ??

Si vous voulez bien aussi me dire deux mots sur le produit de convolution et l'impact sur l'exercice je ne suis pas contre. Accroître un peu ma culture générale en maths n'est pas quelque chose qui me rebute

Merci d'avance.

[invite88ef51f0]

Si tu remplaces le x dans les bornes par un b, tu as ce qu'on appelle le produit de convolution de f et g. Le produit de convolution est utilisé pour sa propriété sous la transformée de Fourier : la transformée de Fourier d'un produit de convolution, c'est le produit des transformées de Fourier. Donc dès que tu fais un peu d'analyse de Fourier, le produit de convolution est vital.

Mais ton énoncé est plus que louche ! Dans les bornes, j'aurais tendance à mettre un b au lieu du x, et l'intervalle de définition de de g n'est pas celui qu'il faut...

[invite423aa977]

Bien merci! Les transformées de Fourier c'est pour le semestre prochain il me semble.

Je crois que je vais me résigner à ne pas faire l'exercice (ça doit pas être vital) puisqu'il apparaît qu'il est un peu étrange.

Si quelqu'un a une idée ou autre je continuerai a venir voir ce topic régulièrement dans les heures qui viennent.

Et merci de m'avoir sortie la confusion de la tête (en effet "x" n'est pas la variable d'intégration).

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Ce que j'en disais c'est ce qui m'a paru le plus probable. Ce qui ne veut clairement rien dire, c'est le coup de remplacer t par x dans l'intégrande (alors que x est déjà une borne d'intégration). Mais à partir du moment on on fait clairement la différence, pas de problème. Il y a juste un "paramètre" pas (ou mal) spécifié.

Sinon la transformation de Fourier (ou celle de Laplace, du même tonneau) a l'avantage de "remplacer" les dérivées et les intégrales par des expressions "algébriques" genre polynômes. C'est pratique, mais pas vraiment élémentaire. Je ne crois pas qu'il y ait urgence, d'autant que si ton prof a dit texto de "remplacer t par x pour que ça ressemble à quelque chose" il y a vraiment du louche

-- françois

[b@z66]

Maintenant, je pense comme Fderwelt que c'est très louche, ça ressemble fortement à un produit de convolution mais avec ces bornes ça n'en est pas un. Il est donc fort probable que la borne du haut ne soit pas x.

Au contraire, cela parait logique car dans la plupart des cas pratiques du produit de convolution, on a affaire à des fonctions causales et h(x) ne dépend donc pas normalement des valeurs ultérieures à x.

Faute: mea culpa, mon précédent raisonnement est faux, cela impliquerait plutôt une intégration entre 0 et l'infini. By.

[b@z66]

Me voici donc aujourd'hui devant ma feuille avec ceci:

h(x)= f(s)g(x-s)ds

C'est alors qu'un cas de conscience me foudroie et les souvenirs de prof de terminale et de sup ressurgissent: "Pas de "x" dans les bornes et à l'intérieur de l'intégrale".

Ma question est la suivante: cet objet peut il exister? (à priori à mon niveau (L3) je dirais non mais sait on jamais...). Si vous avez une idée sur le vrai énoncé (c'est peut être un classique cet exo) qui est à mon avis pas du programme de L3 mais plutot bac+1 (+2).

Merci

Il ne faut pas se formaliser de x, tant que tu fais l'intégrale, considère x comme une constante. Son rôle de variable ne doit apparaitre que dans l'expression finale et pas dans l'intégrale (où l'on ne fait varier que s).

[invite423aa977]

Oui oui c'est un erreur de ma part pour le "x". Mais je vais m'en rappeler (petit oublie passagé dirons nous). Pour en avoir discuter les gens de ma promo il est plus que certain qu'il y a quelque chose de louche dans l'énoncé (définition de g avec le "x"). Enfin au moins j'aurai levé le doute et je vais pouvoir continuer mes révisions sans trop me poser de questions.