A semblable à -A <=> Tr(A)=0

[invite7aab3038]

Bonjour,
Je suis en train d'essayer de résoudre un exercice qui cherche à démontrer le résultat suivant :
Soit A une matrice de M₂(C), montrer que A semblable à A <=> Tr(A)=0

J'ai réussi à montrer le sens <=, et pour =>, le résultat est évident si A est diagonale. Je cherche donc à montrer que "A semblable à A avec A non diagonale => Tr(A)=0"

Je pense qu'il faut utiliser le fait que A est alors semblable à une matrice T triangulaire supérieure non diagonalisable et certainement montrer que Tr(T)=0 ce qui permettrait de conclure, mais je n'arrive pas à le montrer à partir des hypothèses.

Quelqu'un aurait-il une piste à me suggérer ?

Merci d'avance !
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[Seirios]

Bonjour,

Si et sont semblables, il existe une matrice inversible telle que . En appliquant la trace à cette égalité, on obtient .

[invite7aab3038]

Ouh oui autant pour moi je me suis complètement mélangée !
En fait ce sens de l'équivalence ne pose pas de problème, c'est le sens Tr(A)=0 => A et -A semblables sur lequel je suis coincée. Si A est diagonale, on montre facilement l'implication, mais sinon je n'arrive pas à m'en sortir...
Je suis partie du fait que si A n'est pas diagonale, alors elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure non diagonalisable, donc il existe une matrice Q inversible telle que :



mais je ne sais pas comment continuer

[Seirios]

Du coup, tout ce que tu as à montrer, c'est que est sembable à . Cela doit pouvoir se faire à la main, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]