L1 Maths-I. Nombre complexe

[invite5627e967]

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'aide pour l'énoncé suivant :

mettre le complexe z= -2√3 -i sous forme polaire, en déduire la forme algébrique de z³.


1er essai:
module |z|= √13
si A = arg(z) alors cos(A) =-2√3/√13 et sin(A)=-1/√13

2e essai:
z = -4*(√3/2) -i = -4(sin pi/3) - sin (pi/2)
= -4(sin 2*pi/6) - sin ( 3*pi/6)
= -4 (2*sin pi/6 *cos pi/6) - (3 sin pi/6 -4 sin ³ pi/6)
= [...] on s'y perd un peu non?
Note: sin(3n) = 3 sin n - 4 sin³ n
Preuve : formule d'Euler & développement des ³

3e essai:
z = -4*(√3/2) -i = -4(sin pi/3) - sin (pi/2)
= -4 * [e(i*pi/3)-e(-i*pi/3)]/2i -[e(i*pi/2)-e(-i*pi/2)]/2i

Bref, je n'arrive pas à trouver une forme polaire décente.
C'est probablement tellement simple que ça me passe sous le nez.
Merci pour votre soutien. J'espère avoir posté ce message dans la bonne catégorie vu que c'est mon premier. *-*
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[gg0]

Bonsoir.

Tu es sûr de ton énoncé ? Car le passage par le forme polaire de z pour calculer la forme algébrique de z^3 est assez peu performant (bien moins que le calcul direct).

Sinon, tu as dû apprendre à calculer un argument de a+bi, suivant que a est nul ou pas. Par exemple, pour a non nul, arctan(b/a) si a>0, pi de plus si a<0. mais ici, ça donne un résultat sans intérêt pour le cube de z.

Cordialement.

[invite5627e967]

1) oui c'est bien la question donnée mot pour mot; je l'ai relue en regardant ta réponse...
2) mon "1er essai" est justement la méthode directe, avec laquelle je n'ai jamais eu à utiliser arccos, arcsin ou arctan jusque là

effectivement arctan(-1/-2√3) = arctan(1/2√3)

Valeurs remarquables:
*** arctan (√3) = pi/3
*** arctan (1/√3) = pi/6

mais je ne vois pas pour 1/2√3

Oui, il est plus facile de calculer directement (-2√3-i)³ = -18√3 -37 i ; et c'est bien pour cela que l'on ne nous le demande pas

Dites moi ce que vous trouvez pour z³, ou si vous arrivez à faire la première partie.

Merci pour la tentative gg0 c'était une réponse rapide.

Rappel : mettre le complexe z= -2√3 -i sous forme polaire et en déduire la forme algébrique de z³

[gg0]

Pour la forme polaire, pas de souci, tu sais faire. Celle de z^3 s'en déduit, puis on trouve une forme algébrique avec par exemple -13√13 cos( 3arctan(√3 /6)) si j'ai bien calculé de tête. pas très agréable pour exprimer -18√3.

Vois avec ton prof.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5627e967]

Effectivement, j'ai appris aujourd'hui qu'il y avait une erreur dans l'énoncé.
Afin de ne laisser personne sur sa faim voici la réponse!

> z= -2√3 -2i
> |z|=√16=4
Méthode détaillée:
> cos Arg(z) + i sin Arg(z) = -2√3/4 +i(-2/4)
> cos A = -√3/2 sin A = -1/2
> Arg(z)= pi/6 + pi = 7pi/6 [2pi]
Méthode directe:
> arctan(-2/-2√3)=arctan(1/√3)=pi/6

Ainsi z=4e(i.7pi/6) ===> z³= 4³ e³(i.7pi/6) = 64 e(i.3.7pi/6) = 64 e(i.7pi/2)

Or 7(pi/2)=-(pi/2) puisque l'on est modulo 2pi donc z³= 64 e (-i.pi/2) = - 64i

ET z³= (-2√3 -2i)³ = -24√3 -72i +24√3 -8i = -64i


Note: [2pi] i.e. (mod 2pi) i.e. "modulo 2 pi" i.e. +2.k.pi, k entier

A ceux qui ont tout compris!