Proposition sur la comatrice

[invite32e1bb91]

Bonjour. Ci-joint une proposition sur la comatrice et sa démonstration que je n'arrive pas à comprendre. Tout d'abord, il me semble assez difficile de reconnaitre en les coefficients cij les développements du déterminant suivant la i^ème colonne (surtout dans le cas où i est différent de j) mais on le retrouve en faisant le calcul. Il est possible que je comprenne mal cette démonstration, car je trouve les idées un peu "parachutées" et la démarche est relativement difficile à retenir et à retrouver soi-même, car peu intuitive (quelqu'un pourrait-il m'expliquer un peu comment cette démonstration est "construite" ou n'y a-t-il rien de plus à comprendre et faut-il simplement l'apprendre par coeur?). Voilà pour mon premier problème. Cependant, j'en ai un autre en ce qui concerne l'expression des coefficients cii qui sont égaux à det(A). Pour moi, d'après cette expression, ^tCom(A)A est donc une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à det(A) et les autres coefficients sont nuls. Or, si tous les coefficients diagonaux étaient égaux à det(A), on aurait ^tCom(A)A = [det(A)]ⁿIn ce qui est bien sûr faux... Pourriez-vous me dire où est mon erreur s'il-vous-plaît? Merci d'avance.

PS: Veuillez excuser la taille de l'image...
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[invite5805c432]

il a mutiplié 2 matrices et a ovtenu une matrice diagonale.

ca matrice est du genre
( a 0)
(0 a)
il l'a reecrit
a fois
(1 , 0)
(0 , 1)

il n'y a pas de a^2.

De plus, il faut esayer autant que possible de ne pas apprendre une demo par coeur, ce n'est pas un poème. Mais de savoir la decrire avec des mots.

Ici, il multiplie la transposée de la comatrice, avec la matrice, et identifie immédiatement l'expression du det de A pour les termes diagonaux, et zero pour le reste. Le detail calculatoire doit etre retrouvé quand on rédige.

Tu peux parfaitement retenir d'autres demonstrations. Par exemple, ce resiltat decoule de la règle de cramer:
si je cherche une matrice X tel que Ax= Id
et si je note A^j le jieme vecteur colonne, et X^j le jieme vecteur colonne de X.
on note que
AX^j= e_j,
ou e_j est un vecteur colonne de zeros , sauf à la j ieme ligne
la regle de cramer te donne immédiatement que les coefficients (X^j)_i du vecteur colonne X^j,
X^j_i= det(A^1, ... A^{i-1}, e_j , A^{i+1}, ... A^n)/det(A).
et en regardant det(A^1, ... A^{i-1}, e_j , A^{i+1}, ... A^n) tu vois directement que c'est correspond à cofacteur(A)_{j, i}
conclusion
X_{i,j}= cofacteur(A)_{j, i}/det(A).

reste a voir que X verifie aussi XA=Id.

[invite33c0645d]

Cette propositon est comme tu dis un corrolaire "immédiat" du développement selon une ligne ou une colonne du déterminant d'une matrice

Revoit peut-être l'écriture de ce que veut dire "formule de développement selon une ligne et une colonne"

[invite32e1bb91]

Bonjour,

Merci bien pour vos réponse. Mon erreur vient du fait que j'ai supposé qu'une matrice était une application n-linéaire , je crois qu'il est temps que je fasse une pause avec les déterminants ^^. Par ailleurs, j'ai mieux aimé cette autre démonstration proposée, elle me paraît plus "naturelle". Merci encore!

Bonne journée.

[A voir en vidéo sur Futura]