Aide en topologie

[olympiquega]

Bonjour, j'aimerai obtenir un peu d'aide pour résoudre un exercice de topologie svp.
Intitulé: Dans ℓ∞ (R) l'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang est il compact ?
J'ai d'abord dit que ℓ∞ est borné donc j'ai montré fermé ce que j'ai trouvé donc j'en ai conclu que c'était compact mais mon prof
m'a dit que comme on travail a l'infini ca ne marche pas borné fermé, il m'a dit d'étudier la suite (Un) donc les n premières valeurs sont 1 puis ensuite on a que des 0 mais je cherche dessus depuis plus d'une heure et je ne trouve absolument rien donc si vous pouviez m'aider ca serait top !!
Merci
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[gg0]

Bonjour.

Examine la limite de ta suite ...

NB : Tu n'as pas dit quelle topologie tu utilises.

[olympiquega]

ben la limite est 0 ce qui est logique puisqu'on étudie les suite nulle a partir d'un certain rang !

[olympiquega]

j'utilise la topologie produit , non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[olympiquega]

si je construit la suite (an) en partant de a0 vecteur unitaire et, une fois
les vecteurs a0, . . . , an déterminés, on choisit an+1 tel que N(an+1)=0 et d(an+1, F) = 1
où F désigne le sous-espace vectoriel de dimension finie engendré par les vecteurs
a0, . . . , an.
La suite (an) est alors une suite d’éléments de la boule unité fermée vérifiant∀n > m ∈ N, kan − amk > 1
On ne peut extraire d’une telle suite une sous suite convergente. On en déduite
que la boule unité fermée n’est pas compacte

ca marche ?

[gg0]

j'utilise la topologie produit , non ?

Je ne sais pas. Si toi tu ne sais pas, inutile de faire l'exercice.

[gg0]

ben la limite est 0 ce qui est logique puisqu'on étudie les suite nulle a partir d'un certain rang !

La limite de la suite de suites (0,0,0,...), (1,0,0,0,...), (1,1,0,0,0,...), (1,1,1,0,0,0,...), ((1,1,1,1,0,0,0,...) est 0 (qui n'est même pas une suite !!) ???

Réfléchis avant d'écrire !

[olympiquega]

j'utilise la topologie induite

[gg0]

Pour ton message #5, je ne sais pas de quoi tu parles. mais conjugué avec les autres, je pense que tu nous caches une bonne partie de l'énoncé. Ce qui montre que tu ne l'as pas vraiment étudié.

Désolé !

NB : "J'utilise la topologie induite " est du grand n'importe quoi ! Au lieu d'écrire des mots au hasard, apprends ce qu'ils veulent dire. Commence par apprendre ton cours de topologie. Après, on pourra discuter.

[olympiquega]

non tu as l'énoncé en entier il n'y a qu'une phrase !

[olympiquega]

laisse tomber

[gg0]

Alors où as-tu trouvé ce N et ce d que tu utilises dans " N(an+1)=0 et d(an+1, F) = 1" ?

C'est dommage, car ton prof t'avait donné une idée qui permet de conclure pour toute topologie métrique. Mais tu devrais vérifier si, dans ton cours, ℓ∞ (R) n'est pas automatiquement muni d'une distance (donc d'une topologie), et apprendre laquelle.

Ce sera plus utile que de copier des textes que tu ne comprends pas comme dans ton message #5 (copier des maths sans comprendre est le chemin le plus rapide vers l'incompréhension totale).

Cordialement.

[olympiquega]

dans mon cours ℓ∞ (R) est muni de N infini

[invitecbade190]

Je trouve que tu as raison d'évoquer la topologie induite par celle de l'espace des suites réelles quelconques. Donc, la topologie dans à laquelle il faut s’intéresser est la topologie induite.
Par contre, je ne sais répondre à ta question du début.
Cordialement.

[gg0]

Pourtant c'est simple, avec l'indication du prof.

Au fait, ta topologie induite, elle est induite par quelle topologie sur l'ensemble des suites réelles ??

[olympiquega]

en quoi est ce que c'est simple ?? je comprend pas !

[inviteea028771]

Tu as une famille d'éléments de ton espace contenu dans la boule unité, mais distants de 1 les uns des autres : peut tu les recouvrir par un nombre fini de boules de rayon 1/2?

[olympiquega]

non car la famille d'élément est infini !

[gg0]

Donc c'est fini ! D'un recouvrement par des boules ouvertes de rayon 1/2 on ne peut pas extraire un recouvrement fini.

Pour l'indication initiale de ton prof, la limite est la suite composée uniquement de 1 qui ne fait pas partie de l'ensemble dont ikl faut savoir s'il est compact.

[olympiquega]

D'accord merci bien !!