Limite de distribution et théorème de convergence dominé

[invite9cf8e590]

Bonjour à tous en ce dimanche soir

J'ai un petit problème relativement à un exercice sur les distributions. En fait on pose . Et je dois montrer que ça définit une distribution d'abord ce qui n'est pas très dur. Mais après je dois déterminer la limite de cette distribution.

Donc je prends une fonction-test de . Et je veux déterminer



et par changement de variable on a aussi :

.

Bon le soucis là c'est juste que je n'arrive pas à vérifier les hyptohèses du théorème de convergence dominé. Enfin l'hypothèse sur la convergence simple ça va. Mais l'hypothèse de domination je n'y arrive vraiment vraiment pas. Que je prenne l'une ou l'autre des formes j'ai soit un problème en l'infini soit en 0. En gros la première forme marche bien pour l'intégrabilité en l'infini et la seconde en 0. Et je ne peux pas combiner les deux en découpant mes intégrales non plus donc en fait je ne sais pas vraiment quoi faire. J'arrive pas à dominer ma fonction en somme.

Merci énormément à tous!
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[inviteea028771]

phi est c-infini a support compact, tu peux donc la majorer par une constante M sur un intervalle de la forme [-a,a] (et 0 en dehors)

[invite9cf8e590]

Ahhh support borné ça veut dire que c'est non nul sur un compact ?

[invite9cf8e590]

Enfin même, je ne vois pas comment faire une majoration indépendante de n... Car si on prend la première forme il nous reste qui ne peut se majorer par un truc ne dépendant pas de n et si on prend la deuxième écriture alors les intervalles de majoration dépendent de n puisqu'on a du .

Je me trompe ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5805c432]

je pense qu'il faut etre plus fin que ca.
d'abord il faut reecrire l'integrale differemment en remplacant sin(nx), par exp(inx)-exp(-inx)/2i, et reecrire l'integrale comme limite sous epsilon de

partager ca en partie >0, <0, faire changement variable u=-x, sur un des membres.
reecire re-assemble sour la forme

justifier le passage vers epsilon ->0
desormais le resultat est ramene a la limite de d'une integrale sous la forme

et la on retrouve le resultat que ca converge vers fonction(0), resultat classique en transformee de Fourier, qui se demontre par IPP.

[invite5805c432]

la dernière intégrale est sur {x>0}. faut verifier que l'IPP marche. Ca me semble correct, mais faut l ecrire. Je pense que le resultat final va etre quelque chose comme derivée de phi. peut etre

[invite9cf8e590]

Merci untruc
C'est en effet une méthode qui passe bien!
En fait y'a un poil plus simple je pense.
On voit d'après le théorème de convergence dominé (dont a priori on ne sait pas vérifier les hypothèses) que le tout devrait tendre vers :

en prenant l'intégrale après changement de variable.

Donc l'idée c'est maintenant d'ajouter et de retrancher ce .

Maintenant il nous reste deux intégrales. Une qui nous donne le résultat et l'autre dont il faut montrer la nullité. Or c'est beaucoup plus simple dorénavant car on a dans l'intégrale du qui est continue sur car ça donne la dérivée évaluée en 0 quand on fait tendre x vers 0.

D'où les hypothèses du TCD et la nullité de la deuxième intégrale

[invite5805c432]

la dernière intégrale \int_R sin (nx) [phi(x)-phi(o)/x] dx converge bien vers 0.

ceci découle \int_R sin (nx) f(x)dx-> 0, en n\infini, mais ceci ne découle pas du TCD. D'ailleurs comment tu appliquerait le TCD?

Ce résultat porte le nom de lemme de Riemman Lebesgue, se démontre par IPP pour des fonctions très régulières, et se généralise aux fonctions L1 intégrables par approximations en fonctions régulières dans L1