Infini + infini= ?

[evrardo]

et je ne rentrerai pas dans ton débat, d'abord parce qu'il me semble hors sujet par rapport à ce forum (je vois plutôt cela dans le forum "Epistémologie et Logique", ou "Débats scientifiques"), et ensuite parce que je ne perçois pas quel est exactement ton questionnement et où tu veux en venir dans tes propos.
Cordialement

Pourquoi hors sujet? Je demande quel est le résultat de l'addition de deux ensembles infinis.

Evrardo, tu t'es trompé de forum. Ici c'est math, pas physique ou épistéomologie.
en outre (n'étant pas non plus platonicien) je dis comme Mediat. 10^10000000 n'existe pas. Mais 2 non plus n'existe pas.

et c'est moi qui me suis trompé de forum?
2 existe, puisqu'il est écrit ici.
Mais ce n'est pas cela ma question.

Et si on veut trouver des représentations de nombre gigantesques dans le monde physique, c'est élémentaire. Par exemple, essaie donc un peut de me dire quel est le nombre de stratégie (au sens de la théorie des jeux) aux échec, ou au moins une estimation. Attention, pas le nombre de parties, mais bien de stratégies. Et le jeu d'échec est bien un objet concret.

Tu es fatiguant avec faire des affirmations gratuites comme ça sans arrêt, sans justification, au lieu de poser des questions pour essayer de mieux cerner le problème.

et c'est moi qui suis fatiguant avec mes affirmations gratuites?
Tu ne réponds même pas à ma question: je ne parlais pas de nombres gigantesques comme tu le dis, mais de l'addition des objets de deux ensembles infinis.

Ainsi, l'addition de deux ensembles finis, donne un nouvel ensemble fini, plus grand.
Mais que donne l'addition de deux ensembles infinis?
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[invite47ecce17]

Deja c'est quoi l'addition de deux ensrmbles. Si par la tu veux dire l'addition des cardinaux de deux ensembles (infinis) c'est a dire le cardinal de la reunion disjointz des deux ensrmbles alors en general ce sera le cardinal du plus grand des deux ensrmbles de depart.

[invite51d17075]

bjr MiPaMa,
en effet , il convient de parler cardinaux.
mais avant cela, il faut comprendre que l'infini n'est PAS un nombre ( entier, rationnel, réel ou autre ).
mess pour evrardo évidemment.

[PlaneteF]

Pourquoi hors sujet? Je demande quel est le résultat de l'addition de deux ensembles infinis.

Ton questionnement a évolué par la suite où tu as commencé à parler de "concret/abstrait/réalité". Ni les mathématiques, ni les méta-mathématiques ne parlent de ces sujets. Ces dernières vont parler de validité/vérité, en autres choses, au travers de la notion de modèle, mais elles ne parlent pas de réalité. C'est dans ce sens que l'évolution de ton questionnement est hors-sujet sur ce forum.

Cordialement

[evrardo]

mais avant cela, il faut comprendre que l'infini n'est PAS un nombre ( entier, rationnel, réel ou autre ).
mess pour evrardo évidemment.

Voila, c'est ça mon problème.
J'envisageais un ensemble infini, comme un ensemble d'objets matériels infini. Ce qui ne veut rien dire, puisqu'un ensemble d'objets matériels est nécessairement limité.
Alors qu''avec les mathématiques on peut manier sans difficulté des ensemble infinis, comme par exemple l'ensemble infini des nombres pairs, ou des décimales de pi.

[PlaneteF]

J'envisageais un ensemble infini, comme un ensemble d'objets matériels infini. Ce qui ne veut rien dire, puisqu'un ensemble d'objets matériels est nécessairement limité.

Tu peux aussi rajouter "matériel" à mon message#34 qui évoque les sujets dont tu parles qui sont ne sont ni traités par les mathématiques, ni par les méta-mathématiques.

Cdt

[karlp]

.
mais avant cela, il faut comprendre que l'infini n'est PAS un nombre ( entier, rationnel, réel ou autre ).
t.

Vous voudriez bien me l'expliquer cher Ansett ?

Je croyais que les cardinaux et les ordinaux étaient des nombres (y compris ce que mon prof de math appelaient les "nombres transfinis") ?

Et je ne voudrais pas rater cette occasion de dissiper une nouvelle erreur !

En vous remerciant !

[invite47ecce17]

bjr MiPaMa,
en effet , il convient de parler cardinaux.
mais avant cela, il faut comprendre que l'infini n'est PAS un nombre ( entier, rationnel, réel ou autre ).
mess pour evrardo évidemment.

En fait la notion de nombre n'est pas vraiment definie de manière general en maths, perso ca me derange pas du tout de considerer les cardinaux comme des nombres, apres tout on les appelle aussi nombre transfinis.
Ce qui est certain c'est que l'infini n'est pas un entier naturel oui (ou un rationel ou un réel etc...)

[evrardo]

C'est dans ce sens que l'évolution de ton questionnement est hors-sujet sur ce forum.

Non, c'était ma question à l'origine qui n'était pas précise, ou mal formulée.

[Médiat]

Quant au "nouveau" questionnement, j'y ai déjà répondu au message #4 avec deux exemples ! Mais evrardo ne semble pas s'intéresser aux réponses.

Petite précision : je ne vois aucun inconvénient à qualifier les Cardinaux et les Ordinaux de nombres (cf. les opérations qui sont définies sur ces objets).

Ce fil risque d'être bientôt fermé, si son intérêt n'évolue pas positivement et très vite.

[Médiat]

Bonjour très cher karlp,

Et je ne voudrais pas rater cette occasion de dissiper une nouvelle erreur !

Non, non, pas d'erreur, même si de toute façon ce n'est qu'une question de vocabulaire.

[inviteb22a2401]

Bonjour,

Le questionnement sur l'infini a du toujours être une question de l'homme, même après Cantor !

Quand je lis qu'un nombre n'existe pas concrètement, on en vient à discuter de ce qu'on appelle l'existence.
D'accord, on a estimé le nombre maximum de particules élémentaires dans l'Univers je crois.

Mais si je voulais savoir ce qu'il se passe si jamais il y en avait plus ?
Dois-je me résoudre à me dire que c'est impossible (insensé ?) ou alors utiliser ces nombres (inexistants ?) ?

L'infini, c'est aussi l'idée de savoir se projeter.
Certaines propositions y font allusion "Deux droites sont parallèles si elles sont seulement sécantes en l'infini." par exemple.
Après tout, les rails de chemins de fer sont parallèles, pourtant s'ils se croisent, c'est bien... "loin" !
Et si on prend des jumelles, c'est encore plus... "loin". Ce qui rejoint la notion d'infini.

Pour revenir au véritable sujet de départ, à savoir la somme d'infinis en tant que telle, il suffit d'essayer de construire une théorie là-dessus.

Il devient à mon goût génial d'avoir saisi la différence entre les paquets d'entiers (et même de fractions) et les paquets de réels (et même de complexes et plus...).
D'ailleurs, par ce qu'on appelle la preuve par le dessin, on peut comprendre le côté infini des fractions.

Cantor a illustré les fractales, en construisant par exemple un ensemble infini (infinité d'éléments dedans) et pourtant de mesure de Lebesgue nulle (avec la division en 3 d'un segment).
On se dit, mais à quoi ça sert ? C'est pas concret un infini qui ne mesure que...0.

Pourtant, j'ai lu il y a quelques années qu'on avait modélisé un virus grâce aux fractales.



Bref, imaginer, c'est rendre la réalité plus grande

Oulala, je vais devoir étudier si la suite de mes idées a des valeurs d'adhérence sur ce forum... Hihi

[invite51d17075]

en reponse à Kalp, ma réponse s'adressait à evrardo, qui parlait de nb au sens ( entiers, rationnels, réels, etc.....)
et c'est pourquoi j'avais ds mon souvenir parlé de cardinaux, ce qui n'est pas le même concept.
Cdt

[invite51d17075]

Il devient à mon goût génial d'avoir saisi la différence entre les paquets d'entiers (et même de fractions) et les paquets de réels (et même de complexes et plus...).
D'ailleurs, par ce qu'on appelle la preuve par le dessin, on peut comprendre le côté infini des fractions.

hihi ! si tu veux.
l'ensemble des rationnels est dénombrable, tout comme les entiers. ( même cardinal, même si cela peut sembler étrange )
en revanche les réels ont un cardinal supérieur.
je ne suis pas sur qu'un dessin puisse t'aider sur le deuxième point, mais pour le premier, un graphique existe depuis longtemps.
Cdt.

[invite14e03d2a]

On pourrait faire des mathematiques en ne considerant qu'un nombre fini de nombres entiers: ce sont les proto-nombres dont une introduction est donnee dans le premier chapitre de ce document: Ensemble de nombres. Mais l'usage des mathematiques a montre que ce n'est absolument pas pratique.

[Deedee81]

Salut,

2 existe, puisqu'il est écrit ici.

C'est un symbole qui est écrit ici. Pas le nombre qui est une entité abstraite. Tu confonds le nombre et sa représentation.

je ne parlais pas de nombres gigantesques comme tu le dis

Ainsi lorsque je dis que 10^10¹⁰⁰⁰

Mais oui, mais oui, je te crois.

[Deedee81]

J'oubliais celle-là :

le nombre 10^100000 ne correspond à rien de réel.

2 existe, puisqu'il est écrit ici.

Non, il ne s'agit pas d'une contradiction. C'est toute la subtilité entre "correspondre à une réalité" et 'exister". Il est évident que les raisonnements d'evrardo sont trop subtils pour nos maigres capacités de raisonnement.

[evrardo]

Non, il ne s'agit pas d'une contradiction. C'est toute la subtilité entre "correspondre à une réalité" et 'exister". Il est évident que les raisonnements d'evrardo sont trop subtils pour nos maigres capacités de raisonnement.

C'est plutôt l'inverse!
Je n'ai pas le niveau pour suivre vos derniers raisonnements ici et je me sens comme un ignare...D'où mes questions naïves.

[Deedee81]

D'où mes questions naïves.

Naïves, je ne sais pas. Je ne juge pas le niveau des questions. Selon les domaines mes questions peuvent parfois aussi être très naïves. Et des questions, ça ne me pose aucun problème. Mais le problème c'est que tu fais beaucoup plus d'affirmations que poser des questions. Tout ce que j'ai pointé avec les quotes, ce n'était pas des questions.

[evrardo]

Mais le problème c'est que tu fais beaucoup plus d'affirmations que poser des questions.

Je ne pense pas. Peu importe.
Je crois plutôt qu'on ne se comprend pas très bien.

Mon erreur était que ma question de départ contenait déjà une erreur:

si on prend un ensemble de nombres infini, par exemple les nombres pairs. On y ajoute l'ensemble infini des nombres impairs. Qu'est ce qu'on obtient?
Puisqu'un infini est déjà infini, il ne peut pas augmenter si on y ajoute un autre ensemble infini.

Puisque je prenais le cas d'un ensemble de nombre infinis, et que je précisais ensuite qu'un ensemble de nombres infini et concret ne pouvait pas exister!

Il existe des ensembles concrets de 2 objets, 3 objets et plus. Les mathématiques disent de "n objets".
De combien au maximum pourrait être ce "n", puisque l'univers ne contient qu'un nombre limité d'objets. Il y a 10¹²⁰ électrons dans l'univers.
Il me semble (et non pas j'affirme), qu'il n'existe aucun ensemble contenant par exemple 10^{10 000 000} d'objets.
Tu me proposes le nombre de stratégies possibles du jeu d'échec. Même si c'est certainement un nombre gigantesque, il n'est pas infini.

[Deedee81]

Je crois plutôt qu'on ne se comprend pas très bien.

Ca c'est possible. Par exemple :

Mon erreur était que ma question de départ contenait déjà une erreur:
Puisque je prenais le cas d'un ensemble de nombre infinis, et que je précisais ensuite qu'un ensemble de nombres infini et concret ne pouvait pas exister!

Ce n'est pas une erreur car :

un ensemble de nombres infini et concret ne pouvait pas exister!

Ce n'est pas une interrogation valable en mathématique. En mathématique on ne travaille pas avec des concepts devant exister concrètement.

Ce questionnement sur l'infini est ancien. Avant on n'acceptait que les infinis potentiels (ça peut croitre sans limite, mais jamais être définitivement infini) mais pas l'infini en acte.

Il a fallu d'une part Cantor pour montrer que l'on pouvait parfaitement travailler avec des infinis en acte. D'autre part la formalisation des mathématiques ou le côté concret ne devient plus nécessaire. Ce n'est qu'un jeu de syntaxe (bon, je simplifie un peu là, je ne veux évidemment pas être réducteur. Les "yaka" c'est toujours facile ).

Prenons la proposition mathématique suivante :

P->R

Peux-tu dire si elle existe concrètement ? Hé bien on s'en fou. Ce qui compte est la construction P->R en soi et comment elle peut s'articuler avec d'autres propositions.

Idem pour tes ensembles. Ce qui compte en mathématique c'est que l'ensemble obéisse à un certain nombre d'axiomes et après ce n'est plus qu'un jeu formel. Tu peux même remplacer nombre par cffsqf et infini par wsdvrt si tu veux. Ca n'a aucune espèce d'importance. Pas besoin que ce soit concret. On s'en fou comme de l'an quarante.

[karlp]

Je crois, Evrardo, qu'il est possible de construire un ensemble (au sens naïf du terme) avec des "objets concrets"de la taille qu'on voudra, et tel qu'à cet ensemble correspondra un entier naturel aussi grand que l'on veut : on peut définir les éléments de cet ensemble comme bon nous semble et on pourrait aussi bien construire un ensemble avec des grains de sables adjoints à des gouttes d'eau ou des nanoparticules.

La difficulté est effectivement de savoir si, en revanche, on peut construire un ensemble d'"objets concrets" tel que le cardinal de cet ensemble soit aleph zéro (cardinal de l'ensemble des entiers naturels et de tout ensemble pour lequel il existe une bijection avec celui ci).
Je vous avoue penser que c'est impossible, mais je n'ai pas la moindre démonstration à vous donner à l'appui.

[karlp]

1) Ce questionnement sur l'infini est ancien. Avant on n'acceptait que les infinis potentiels *(ça peut croitre sans limite, mais jamais être définitivement infini) mais pas l'infini en acte.

2) Il a fallu d'une part Cantor pour montrer que l'on pouvait parfaitement travailler avec des infinis en acte. D'autre part la formalisation des mathématiques ou le côté concret ne devient plus nécessaire.

1)* Pour la petite histoire, la faute en revient à Aristote (on pourrait peut être montrer que ce sont les "platoniciens" - pas les seulement les mathématiciens platoniciens - qui ont peu à peu "libéré" le concept d'infini des restrictions imposées par Aristote)

2) Avec Frege cette référence au concret est même interdite: Frege est platonicien et refuse de subordonner les mathématiques à la "réalité physique".

[invite51d17075]

cela me semble très juste historiquement.
mais ne jetons pas une trop grosse pierre à ce cher Aristote .
très cordialement.

[evrardo]

En mathématique on ne travaille pas avec des concepts devant exister concrètement.

C'est ce que je dis depuis un moment déjà.

Ce qui compte en mathématique c'est que l'ensemble obéisse à un certain nombre d'axiomes et après ce n'est plus qu'un jeu formel. Tu peux même remplacer nombre par cffsqf et infini par wsdvrt si tu veux. Ca n'a aucune espèce d'importance. Pas besoin que ce soit concret. On s'en fou comme de l'an quarante.

Alors est ce que ces "jeux formels" comme tu dis, ne sont que des jeux d'intelligence mathématiques, ou est ce qu'ils sont applicables à des cas concrets?
Puisque, au moins pour moi et pour le moment , je ne vois pas comment on peut exploiter des valeurs utilisant l'infini dans le cas de la mécanique newtonienne par exemple.

[invite51d17075]

Puisque, au moins pour moi et pour le moment , je ne vois pas comment on peut exploiter des valeurs utilisant l'infini dans le cas de la mécanique newtonienne par exemple.

deux points me viennent à l'esprit.
le premier est que tu t'entêtes à voir les mathématiques comme une représentation physique de qcq chose.
le second est que la notion "d'infini", même si les physiciens y sont réfractaires, peut être utile pour certaines modélisations.
( j'ai bien dit modèles )
et certaines "singularités" par exemple sont aujourd'hui très mal décrites et comprises.

[Deedee81]

Alors est ce que ces "jeux formels" comme tu dis, ne sont que des jeux d'intelligence mathématiques, ou est ce qu'ils sont applicables à des cas concrets?

Ca, c'est un problème de mathématique appliquée. C'est ce qu'on fait en physique. Avec parfois une explication sur les limites d'une telle identification, parfois pas.

Par exemple, si j'ai un appareil de mesure pour mesurer la vitesse d'une voiture. Je vais représenter la valeur lue V par une grandeur appartenant à l'ensemble des nombres réels. Mais on sait très bien que la valeur V ne présente pas un nombre infini de décimales comme le nombre pi (ou même 1/3). Les valeurs mesurables seront en nombre fini. Mais ce n'est pas grave puisqu'en physique la valeur d'une grandeur n'a d'importance qu'à la précision des mesures près. La physique, contrairement aux maths, est une science FAPP (for all practical purpose, pour tout usage pratique)

Un cas où c'est explicitement discuté est dans le livre Gravitation de Misner, Thorn et Wheeler. Au début ils parlent du concept d'événements et de la modélisation de l'espace-temps par une variété riemanienne continue. Ce qui suppose des événements ponctuels (ce qui est physiquement absurde) et des distances ou durées aussi petites que l'on veut alors qu'on ne sait même pas si la gravité se comporte de la même manière en-dessous du centimètre ! Mais à nouveau, ce n'est pas grave pour exactement la même raison. A charge des théories candidates (qu'on ne sait pas encore tester) à la gravité quantique d'explorer d'autres hypothèses.

EDIT croisement avec anset qui cite aussi le cas de l'infini. C'est le même genre de situation que ci-dessus.

Alors pourquoi choisir les réels ou le continu dans ces exemples ?(EDIT ou l'infini) Car il faudrait être complètement cinglé pour se passer de la puissance des outils de l'analyse mathématique alors qu'on peut en profiter !!!! Tout simplement.

Ca répond je crois assez en profondeur à ta question. Mais il aurait mieux valu la poser ailleurs. Ce n'est pas une question de mathématique.

2) Avec Frege cette référence au concret est même interdite: Frege est platonicien et refuse de subordonner les mathématiques à la "réalité physique".

Ca a pas mal évolué depuis car je ne suis pas platonicien mais je refuse aussi cette subordination. Je me classe plutôt dans les formalistes amha.

[gg0]

Bonjour.

Dans de très nombreuses applications on utilise des modèles continus (La plupart des ingénieurs, médecins, biologistes, et même économistes n'utilisent que des modèles continus). Ce qui nécessite une utilisation implicite de l'infini. Et ça donne des effets très concrets. Il ne faut pas confondre le fonctionnement de la théorie et la traduction des conclusions. De la même façon, on peut faire un calcul de longueur en utilisant des nombres négatifs ou même complexes; ce qui compte c'est que le nombre trouvé à la fin soit positif.
Avoir un questionnement qui analyse le fonctionnement des mathématiques (même sous prétexte de s'interroger ) sans le connaître ni vouloir commencer par constater "la déraisonnable efficacité des mathématiques" est une bonne façon de perdre son temps; et amène à soutenir des points de vue contradictoires et souvent contrafactuels.

Dommage.

NB : On est loin dela question de départ.

[Médiat]

Bonjour,

Il a fallu [...} Cantor pour montrer que l'on pouvait parfaitement travailler avec des infinis en acte.

Nul ne pourra nous exclure du Paradis que Cantor a créé

Qu'ils essayent tiens

[evrardo]

deux points me viennent à l'esprit.
le premier est que tu t'entêtes à voir les mathématiques comme une représentation physique de qcq chose.

Non non, je n'ai jamais dit ça.

le second est que la notion "d'infini", même si les physiciens y sont réfractaires, peut être utile pour certaines modélisations.
( j'ai bien dit modèles )
et certaines "singularités" par exemple sont aujourd'hui très mal décrites et comprises.

Entièrement d'accord avec toi.

Alors pourquoi choisir les réels ou le continu dans ces exemples ?(EDIT ou l'infini) Car il faudrait être complètement cinglé pour se passer de la puissance des outils de l'analyse mathématique alors qu'on peut en profiter !!!! Tout simplement.

là aussi, entièrement d'accord.

Ca répond je crois assez en profondeur à ta question. Mais il aurait mieux valu la poser ailleurs. Ce n'est pas une question de mathématique.

D'où les confusions pendant ce débat.
Ma question n'avait effectivement pas sa place dans la partie mathématiques. Quoique je suppose que j'aurais eu les mêmes réponses ailleurs.