Infini + infini= ?

[Médiat]

Bonjour,

Tu peux même remplacer nombre par cffsqf et infini par wsdvrt si tu veux. Ca n'a aucune espèce d'importance. Pas besoin que ce soit concret.

Quand il a axiomatisé la géométrie Hilbert à écrit :

Les éléments, tels un point, une droite et un plan, peuvent être substitués par un verre de bière, une chaise et une table, par exemple

D'où ma définition super-constructive : Un point c'est un élément qui vérifie les axiome du point dans une géométrie ; ou pour faire plus cours : un point c'est un point (un point c'est tout !), ou comme disait B. Russell :

Les mathématiques, sont une science où on ne sait pas de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai

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[PlaneteF]

Quand il a axiomatisé la géométrie Hilbert à écrit :

Bonjour Médiat,

Remarque sur la citation de Hilbert :

Ca, c'est la vision syntaxique des mathématiques avec un aspect purement mécanique, et par analogie, tel que le fait un programme de jeu d'échecs qui manipule des symboles, peu importe ces symboles, peu importe la signification, il calcule froidement et parvient à battre quasiment tout le monde (le jeu de dames quant à lui est "résolu" depuis peu de temps, il est désormais formellement impossible de battre un programme de jeu de dames).

Hilbert avait cette vision mécanique des mathématiques. Mais c'est occulter la partie la plus importante des mathématiques selon moi qu'est la sémantique​, et c'est là mon propos. Si je reprend l'analogie du jeu d'échecs, un humain ne raisonne pas du tout comme une machine, il fait même exactement le contraire, il donne un sens aux pièces et à l'échiquier, il a une vision géométrique des cases, dans son esprit les pièces rayonnent en tissant un réseau de cases contrôlées, la couleur des cases est fondamentale, adopter une stratégie de cases blanches là où il en faudrait une de cases noires est catastrophique, le joueur développe dans son cerveau ce que l'on appelle des patterns, ce sont des sortes de templates ou de schémas qui relient les pièces entre elles par un réseau d’interaction et qui se construisent dans le cerveau par l'apprentissage puis surtout par l'expérience. Ces patterns sont fondamentales dans le processus de réflexion du joueur d'échecs. Bref fascinant !

Il en va exactement de même en mathématiques, ce n'est pas en mettant froidement "chaise", "bouteille", "savon", etc ... à la place de "x", "+", "=", etc ... que l'on va parvenir juste par manipulation de ces symboles façon programme d’échecs, à émettre des conjectures et être capable de trouver des démonstrations. C'est bien parce que l'on va donner un sens à toute cette syntaxique que l'on va pouvoir faire des mathématiques par un processus de réflexion, où l'intuition, l'expérience, et la recherche avec tout ce quelle peut avoir d'erratique, sera le moteur essentiel. Attention, je ne nie pas que l'on fait aussi de manière purement mécanique des calculs en ne donnant aucun sens à cela, mais ce n'est pas ce qui constitue la motivation de le faire.

De manière analogue lorsque l'on construit la logique du premier ordre, même la construction de la partie syntaxique est gouvernée par la sémantique. Par exemple si je prend la règle de démonstration suivante :



... on ne s'est pas amusé à faire joujou avec les symboles , , etc ... en les assemblant au pif, on a bien en arrière-pensée une signification à ces symboles de telle sorte que lorsque l'on va démontrer la complétude de la logique du premier ordre (çà Médiat celle là elle est pour toi ), la syntaxique va coller avec la sémantique comme par magie, ... mais cette magie c'est bien par que l'on a donné, en amont, un sens à tout cela.


N.B. : A la base j'étais parti sur une petite remarque de 2 ou 3 lignes


Cordialement

[Médiat]

Bonjour PlaneteF

Ca, c'est la vision syntaxique des mathématiques avec un aspect purement mécanique

Absolument

Hilbert avait cette vision mécanique des mathématiques. Mais c'est occulter la partie la plus importante des mathématiques selon moi qu'est la sémantique​, et c'est là mon propos.

Loin de moi l'idée de réduire à 0 l'importance de l'intuition (et donc de la sémantique) dans la pratique mathématique, mais j'ai néanmoins quelques remarques à faire :

1) Que l'on restreigne les mathématiques à l'axiomatique (comme le formaliste que je suis) ou qu'on l'on croit en leur réalité immanente (comme les platoniciens), on ne fait des mathématiques qu'au travers de la formalisation (donc avec des verres de bière), et partiellement avec son intuition, intuition qui est d'ailleurs multifaces puisqu'elle peut prendre sa source dans le monde sensible (donc les machins qu'on trace avec une règle sur du papier), mais aussi dans le monde déjà formalisé (donc les droites dans leur acception mathématique), comme disait Godement "ce qui est abstrait en mathématique, c'est ce qui devient concret après 2 ans d'étude".
2) Mal gérée l'intuition peut être un sacré frein (le paradoxe de Banach-Tarski n'aurait pas vu le jour et les espaces affine seraient au maximum de dimension 3 )
3) Ma spécialité est la théorie des modèles donc d'une certaine façon la sémantique des mathématiques, mais clairement pas une sémantique tangible.

Il en va exactement de même en mathématiques, ce n'est pas en mettant froidement "chaise", "bouteille", "savon", etc ... à la place de "x", "+", "=", etc ... que l'on va parvenir juste par manipulation de ces symboles façon programme d’échecs, à émettre des conjectures et être capable de trouver des démonstrations.

Ben je crois que si (pas uniquement, je suis d'accord) cf. le point 2 ci-dessus.

De manière analogue lorsque l'on construit la logique du premier ordre, même la construction de la partie syntaxique est gouvernée par la sémantique.

Encore une fois nous sommes d'accord, le démarreur est bien là, mais ce n'est pas la totalité du moteur.
En continuant l'exemple : a une source sémantique évidente, mais ce n'est pas le cas de "|" (la barre de Sheffer), qui a une importance théorique indéniable et une sémantique ("non-et") que l'on utilise beaucoup moins souvent que "non" et "ou".

la complétude de la logique du premier ordre (çà Médiat celle là elle est pour toi )

Merci

[invite51d17075]

3) Ma spécialité est la théorie des modèles donc d'une certaine façon la sémantique des mathématiques, mais clairement pas une sémantique tangible.

bjr tous, je vous lis avec intérêt, mais sans les connaissances nécessaires pour une intervention "utile".
ma question est donc factuelle.
qu'entends tu pas "tangible" dans le contexte de cette discussion.
Cdt

[Médiat]

Bonjour,

En géométrie euclidienne ce que l'on appelle droite (ou verre de bière) à un équivalent tangible : la droite que l'on trace ave une règle sur du papier.

Un modèle de l'arithmétique de Peano est, par exemple, l'ensemble des entiers, ce qui n'est pas "tangible", c'est à dire que les objets désigné par les symboles de la théorie sont d'autres symboles (qui eux-même réfèrent à une réalité tangible, cf. la remarque de PlaneteF).

Pour caricaturer un peu, on peut trouver 3 étages :
"2" n'existe pas dans l'arithmétique de Peano (syntaxe)
"2" est l'objet qui représente s(s(0)) dans tous les modèles de l'arithmétique de Peano (sémantique au sens de la théorie des modèles)
"Il y a 2 pommes sur la table", (sémantique "tangible")

[invite51d17075]

merci médiat.
cela ne me semblait pas évident à priori.
Cdt.

[PlaneteF]

2) Mal gérée l'intuition peut être un sacré frein (le paradoxe de Banach-Tarski n'aurait pas vu le jour et les espaces affine seraient au maximum de dimension 3 )

J'aurais envie de dire que quel que soit le domaine toute chose mal gérée est forcément un problème. Concernant l'intuition mathématique, c'est un générateur d'idées qui est primordial, mais étant un amateur de paradoxes de toutes sortes, je suis très conscient que cette intuition peut se tromper complètement (il suffit de voir tous les paradoxes sur l'infini ou les probabilités qui sont très piégeux).

Maintenant je ne partage pas le côte "frein" dont tu parles et tes 2 exemples dans le contexte où tu les présentes. Je pense même le contraire. Il me semble que le fonctionnement de l'intuition est plus compliqué que cela, avec un enchevêtrement de pensées et d'idées qui se succèdent, se superposent, se complètent, se contredisent, se développent, s'éteignent, etc ... et qui prennent multi-sources de manière chaotique. Le paradoxe de B-T dont tu parles, sur le principe (je ne sais pas si cela a été le cas) pourrait très bien faire appel à l'intuition (peut-être partiellement), faisant appel à un autre paradoxe, à d'autres paradoxes, qui eux mêmes font appel à d'autres choses, à des choses concrètes, à des choses abstraites, des choses rationnelles ou pas, à des émotions, des sentiments, des fantasmes, à des rêves, des cauchemars, à des pensées inconscientes, ... la chute d'une feuille, le sourire d'un enfant peut déclencher des idées qui n'ont aucun rapport avec ce que l'on perçoit. Pour les espaces affines il me semble qu'intuitivement on va au contraire chercher à extrapoler, à voir se qui passe au delà, cela me semble être même un réflexe premier et naturel. Il suffit d'aller sur le forum de cosmologie pour voir la fascination de n dimensions, d'un nombre de dimensions infini, de multivers, etc ... Je pense au contraire que l'intuition permet d'aller au delà de la perception première, et d'imaginer sans limites sans contraintes, et effectivement il faut bien maîtriser ou bien gérer pour reprendre ceque tu disais.

3) Ma spécialité est la théorie des modèles (...)

Oh ?!

Encore une fois nous sommes d'accord, le démarreur est bien là, mais ce n'est pas la totalité du moteur.

Je suis totalement d'accord avec ce que tu dis là.

Je pense que tout est question de curseur, difficile à exprimer quantitativement, mais que l'on peut voir où il se situe qualitativement. Dans ma prose de mon message précédent je pousse nettement le curseur côté sémantique, c'est peut-être pour faire contre-poids par rapport à tout ce que l'on peut lire sur les méta-mathématiques où je trouve que l'on oublie trop souvent la place de la sémantique, comme si les mathématiques ce n'était que pure mécanique

Maintenant ce curseur n'est pas au même endroit en fonction de ce que l'on étudie et de la façon d'étudier. Au collège et au lycée, on va d"abord inculquer aux élèves les mécanismes indispensables à la bonne pratique des maths. Le sens donné à tout ça est plutôt en second plan. D'ailleurs on le voit sur FS sur le forum du Collège et Lycée, les forumiens sont très souvent en attente de formules et de méthodes de calculs ^(*). La formule ça c'est le graal, ... c'est mécanique, c'est rassurant, c'est du "yaka", yaka remplacer et ça marche tout seul, mieux cela s'insère parfaitement avec l'usage de la calculatrice, ... par contre quand on commence à parler de raisonnement, de motivation, de sens à l’exercice, là tu perçoit où le curseur dont je parle se trouve. Ensuite dans l'enseignement supérieur, là c'est une autre chanson, on dit, bon c'est bien gentil les identités remarquables mais maintenant on y go, on y va "pour de vrai", la récréation est terminée. Le curseur se déplace. C'est peut-être moins le cas pour les maths appliquées, monde que je connais très peu, je parle surtout de maths dites "pures". Après si l'on va dans les niveaux stratosphériques des mathématiques genre démonstrations de conjectures qui font 100 pages et qui font appel à 10 théories dont le cours de chacune fait 1000 pages, le curseur se déplace encore ... Je serais très curieux de savoir ce qui s'est passé dans la tête d'Andrew Wiles pendant toutes ces nombreuses années où il était enfermé chez lui pour démontrer le célèbre théorème que l'on connait.

^(*) Pour l’anecdote, sur le forum du Collège et du Lycée, je montre à un(e) forumien(ne) une démonstration qui tient seulement en une ligne avec justification par un raisonnement. Le forumien(ne) me répond que cela ne peut pas être la solution, car en mathématiques il y a forcément un calcul pour faire une démonstration. J'ai trouvé cette réponse "mignonne".

Merci

My pleasure!

[Médiat]

PlaneteF

Cette fois nous sommes 100% d'accord (peut-être ne mettons-nous pas le curseur au même endroit, mais c'est à la fois anecdotique et obligatoire, chacun mettant le curseur à sa convenance et en fonction du sujet), en particulier sur le côté "l'intuition peut se nourrir de toutes les connaissances et pas seulement des connaissances tangibles" et donc de résultats formels considérés comme abstraits par d'autres personnes.

la chute d'une feuille, le sourire d'un enfant peut déclencher des idées

Anecdote pour anecdote (j'adore celle du forum lycée et collège), lorsque je préparais ma thèse, un jour, à la bibliothèque universitaire, la très, très jolie F. D. (je n'en dirais pas plus ) m'a tapé sur l'épaule parce qu'elle voulait aller voir une conférence et me proposait de l'accompagner, en rangeant mes affaires, j'ai griffoné une formule sur un coin de cahier, presque sans avoir pleine conscience de ce que j'écrivais (les américains disent "out of the blue"), quand j'ai repris mon cahier, cette formule s'est avérée être celle que je cherchais depuis 1 mois.

[PlaneteF]

PlaneteF

Cette fois nous sommes 100% d'accord

Bah c'est pas drôle, yapu de débat

[invitef7c61cc0]

Bonsoir,

pardonnez moi je vais peut être être complétement out, mais alors que l'on parle infini et mathématique j'ai compris que de la concrétude a surgi du concept d'infini, tel l'informatique a été cité.

Maintenant j'aimerais savoir ce que pourrait penser des matheux de l'idée d'une concrétude complétement infinie (je vois la représentation de l'univers comme seul exemple mais peut être aussi l'infiniment "petit" à notre échelle aussi) et de sa retranscription mathématique en phénoméne réel et probabiliste, l'absolue probabilité 1 de l'infinis est peut être la seule explication de la survenance (miraculeuse selon toute probabilité ? ) de la vie consciente telle que nous l'expérimentons ! (je vais me faire jeter là !)
L'idée que tout advient quoiqu'il arrive me trotte souvent dans la tête, reste à concevoir l'idée de temps et de localisation si pregnante à nos esprits animaux ! Peut être que tout cela est une question d'échelle, peut être que des mathématiciens auraient un positionnement particulier pour penser le sujet : la concrétude est juste infinie par construction.
Mais attendons aussi des logiciens ou experts en logique du raisonnement avant qu'il y ai des démonstrations !

Trés cordialement

[invite51d17075]

la concétude ?
c'est quoi ça ?

[gg0]

C'est une forme de bravitude

[PlaneteF]

Bonjour,

En première lecture le mot concrétude m'a interpellé de même, mais après vérification il existe bien : C'est un nom féminin qui désigne le caractère de ce qui est concret.

Cordialement

[invitef7c61cc0]

Bonjour,

merci planéte-F,

oui la concrétude, comme l'addition et l'idée d'infini existe à plusieurs niveaux et dans tout les sens ... reste seulement à essayer de les approcher humblement.

"infini + infini = à " .... là c'est juste une faute de frappe pas une faute de vocabulaire.

Je conclue avec des vers : "Homme, libre penseur, etc etc,... A la matiére même un verbe est attaché, Ne la fais point servir à quelque usage impie."

Cordialement

[invitef7c61cc0]

PlaneteF



Anecdote pour anecdote (j'adore celle du forum lycée et collège), lorsque je préparais ma thèse, un jour, à la bibliothèque universitaire, la très, très jolie F. D. (je n'en dirais pas plus ) m'a tapé sur l'épaule parce qu'elle voulait aller voir une conférence et me proposait de l'accompagner, en rangeant mes affaires, j'ai griffoné une formule sur un coin de cahier, presque sans avoir pleine conscience de ce que j'écrivais (les américains disent "out of the blue"), quand j'ai repris mon cahier, cette formule s'est avérée être celle que je cherchais depuis 1 mois.

Salut,

ton anecdote est Freudienne l'ami ! je dirais que tu as su conclure ton affaire... ça m'a fais bien sourire !

[invite0a547b27]

Salut,

J'aime beaucoup cette question-réponse : "Peut-on parler de l'infini avec des termes finis ?"

[invite51d17075]

l'infini est un concept.
tu en parles avec les termes que tu veux.
il me semble que , par exemple, sur un autre plan, on parle bien de l'inconscient avec des termes "conscients";
faux débat purement sémantique.

[invite0a547b27]

l'infini est un concept.
tu en parles avec les termes que tu veux.
il me semble que , par exemple, sur un autre plan, on parle bien de l'inconscient avec des termes "conscients";
faux débat purement sémantique.

ok, je vais être plus explicite :
#({0,1,2,3,4,5,...})=infini
longueur("#({0,1,2,3,4,5,...}) ")<100

[Médiat]

Bonjour,

Où est le point ?
Infini = Infini (incontestable non ?)
Longueur(Infini) = 6
Et alors ?

Mouillé est sec ; et long est plutôt court ...

[invite0a547b27]

Bonjour,

Où est le point ?
...

Bonjour,

Comme l'a fait remarquer l'instigateur de ce fil, le concept d'infini n'a pas d'exemple concret.
Et ce que je disais par cette question-réponse ce n'est rien d'autre qu'en math on ne travaille pas sur le concept d'infini, mais sur le mot "infini" et ses interactions avec d'autres mots plus ou moins concret.
Car en dernière instance on peut modéliser le travail mathématiques comme un jeux (avec des règles précises) sur des symboles, abstractions faîtes du sens.

[Médiat]

Comme l'a fait remarquer l'instigateur de ce fil, le concept d'infini n'a pas d'exemple concret.

Quelle est la période d'un pendule immobile ?

Et ce que je disais par cette question-réponse ce n'est rien d'autre qu'en math on ne travaille pas sur le concept d'infini, mais sur le mot "infini" et ses interactions avec d'autres mots plus ou moins concret.

Non on travaille sur les propriétés des "objets" associés aux symboles qui, eux, n'ont aucune importance, on peut les changer quand on veut sans rien changer aux mathématiques

Car en dernière instance on peut modéliser le travail mathématiques comme un jeux (avec des règles précises) sur des symboles, abstractions faîtes du sens.

Ce qui n'est pas la même chose que la phrase précédente (et ferait de la peine à un platonicien, ce que je ne suis pas)

Si ce fil continue de naviguer dans ce sens, il finira par accoster en épistémologie (je n'ai pas écrit "échouer").

[invite0a547b27]

1/Quelle est la période d'un pendule immobile ?
2/...

1/Non, on revient aux mathématiques, c'est comme si tu me demandais combien de point y-a-t-il dans un segment, donne un exemple indépendant des mathématiques.
2/interactions = définitions et propriétés.

[Médiat]

Pendule, période, objet et notion physique très concrets, si ce que vous voulez dire c'est que vous n'avez jamais vu de "tas de trucs" qui soit "infini", certes je l'admet volontiers, mais je n'ai jamais vu d'objet commutatif non plus ; donc, oui les mathématiques ne sont pas une science du monde tangible.

Je maintiens, en mathématique, les symboles utilisé sont toujours non pertinents, et on ne les étudie pas.

En fait ce fil ne va nulle part, j'ai bien peur !

[invite0a547b27]

...Je maintiens, en mathématique, les symboles utilisé sont toujours non pertinents, et on ne les étudie pas...

Il y a quand même un minimum de condition sur les symboles tel que la bijective.
Ensuite, vu que les mathématiques sont des activités humaines il est bon de pendre des symboles existant (plus facile à retenir) et de lier de façon pertinente.
Cela permet de mémoriser plus facilement les interactions entre ces symboles....
non ?

[Médiat]

Mais je n'ai pas écrit le contraire, je veux juste faire remarquer que : associer "infini" et "longueur fini" est de l'ordre du jeu de mots et non des mathématiques

[invite0a547b27]

Effectivement, on peut le voir comme cela aussi.

Merci.

[evrardo]

En fait ce fil ne va nulle part, j'ai bien peur !

Oui, surtout que j'ai eu depuis longtemps la réponse à ma question qui était pourtant mal posée dès le départ.

[invite51d17075]

Bonjour,

Comme l'a fait remarquer l'instigateur de ce fil, le concept d'infini n'a pas d'exemple concret.
.

tiens, ça c'est amusant.
alors donnes moi exactement la distance du litoral français.
en tenant compte de toutes les ramifications ( type fractales ) de tous les rochers ( gros ou très petits )qui bordent la cote.
sais tu faire le calcul exact ?
quelle que soit ta mesure, je peux en faire une supérieure.

[evrardo]

tiens, ça c'est amusant.
alors donnes moi exactement la distance du litoral français.
en tenant compte de toutes les ramifications ( type fractales ) de tous les rochers ( gros ou très petits )qui bordent la cote.
sais tu faire le calcul exact ?
quelle que soit ta mesure, je peux en faire une supérieure.

Oui, j'aime bien cet exemple étonnant!
La longueur du littoral français est donc infinie...pourtant réelle.


Au passage, la France est le 2ème pays du monde par la longueur de son domaine maritime. Après les USA et juste pour 300 000km² de moins.

[invite9dc7b526]

quelle que soit ta mesure, je peux en faire une supérieure.

ce qui ne prouve pas que la longueur est infinie. D'ailleurs l''univers étant composé de particules un objet physique ne peut être fractal.