Polynome minimal

[invitecbade190]

Bonjour tous,

Soit un corps commutatif.
Soit un automorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie : , de polynôme minimal : .

Montrer que : .
Calculer le polynôme minimal de en fonction de celui de .

Merci d'avance.
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[invite9dc7b526]

Tu réfléchis parfois avant de poser une question? Tu as vu un automorphisme avoir une valeur propre nulle?

[invitecbade190]

Si un endomorphisme a une valeur propre nulle, cela signifie qu'il n'est pas inversible ? Pourquoi ? Parce que il existe tout un espace caractéristique de E dans lequel cet endomorphisme est nul, donc, il n'est pas inversible, c'est ça ?
Et pour la deuxième question, comme nt la résoudre ?
Merci d'avance.

[invite9dc7b526]

si f a une valeur propre nulle il existe un vecteur u non nul tel que f.u=0.u=0 et f n'est pas injective.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Merci. Et pour la deuxième question ?
Merci d'avance.

[JPL]

Et toi, qu'as-tu essayé de faire ? Lire http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html.

[invitecbade190]

Pour la deuxième question :
Puisque est un automorphisme, alors : , donc : , mais je ne sais pas terminer la réponse.

[Seirios]

Bonsoir,

Il me semble que la même question a été posée il n'y a pas très longtemps : tu devrais trouver quelque chose en faisant une petite recherche.

EDIT : En fait, la question à laquelle je pensais ne parlait pas du polynôme minimal...

[invite5805c432]

la question 1 te dis de montrer que a_0=0
donc pour resumer tu as:
- un polynome minimal
- son a_o est nul

question: c'est quoi un polynome minimal? et que devient ma formule à la con si a_0 =0. Et en regardant ces formule ais je la solution?

[invitecbade190]

Je n'ai ps compris. Pouvez vous être plus explicite et direct ?
Merci d'avance.

[Seirios]

Ce que untruc veut dire, c'est que si , donc polynôme n'est trivialement pas irréductible, et ne peut donc pas être minimal.

Pour la deuxième question, remarque que si est un polynôme annulateur de de degré , alors te donne un polynôme annulateur de , et vice-versa.

[invite9dc7b526]

Le polynôme minimal d'un endomorphisme n'a pas de raisons d'être irréductible.

[Seirios]

Effectivement, j'ai dû penser aux éléments algébriques d'un corps en écrivant ça. Ce qui est important, c'est que si , alors divise le polynôme, et en écrivant les choses et en utilisant le fait que est inversible, on arrive à trouver un polynôme annulateur de degré <d, ce qui est contradictoire. Désolé pour le cafouillage.

Sinon, l'indication pour la deuxième question est correcte.

[invitecbade190]

Merci à vous tous pour vos réponses.
@Seirios :
est un polynôme annulateur de qui représente le polynôme minimal de .
Par suite :


Et par conséquent : .
Comment montrer que : est le polynôme du plus petit degré parmi tous les polynômes annulateurs de ?
Merci d'avance.

[gg0]

Merci à vous tous pour vos réponses.
@Seirios :
est un polynôme annulateur de qui représente le polynôme minimal de .
Par suite :


Et par conséquent : .
Comment montrer que : est le polynôme du plus petit degré parmi tous les polynômes annulateurs de ?
Merci d'avance.

Ce n'est même pas un polynôme !

En général, on ne se contente pas d'écrire, on pense en même temps à ce que ça veut dire ....

[invitecbade190]

qui est un polynôme annulateur de , non ?
Comment montrer que est le polynôme du plus petit degré parmi tous les polynômes annulateurs de ?
Merci d'avance.

[Seirios]

De la même manière qu'un polynôme annulateur de peut être construit à partir d'un polynôme annulateur de , un polynôme annulateur de peut être construit à partir de . En mettant tout ça ensemble, tu dois pouvoir conclure.

[invitecbade190]

J'ai beau réfléchi toute la journée, je n'arrive pas à conclure.

[Seirios]

Je ne sais pas si tu as remarqué, mais pour l'instant, tu n'as montré aucun effort de réflexion dans cette discussion. Alors voici mon dernier indice : raisonne par l'absurde en supposons qu'il existe un polynôme annulateur de de degré et utilise les autres indices qui ont déjà été donnés.

[invitecbade190]

J'ai fait la première question seule, cela montre que j'ai fourni un petit effort seul. Qu'en veux tu d'autres ?
J'ai explicité ensuite ton idée sur le polynôme annulateur qui n'était pas du tout clair. Qu'en veux tu d'autres.
Si par absurde, on suppose, qu'il existe un polynôme annulateur : tel que : , lors : forcément : , non ? Donc, ou . ne peut ps diviser , car sinon est une valeur propre de qui est un automorphisme, c'est faux, donc, et n'est pas un polynôme, alors n'est pas un polynôme, absurde. Est ce que c'est juste ce que j'ai dit ?
Merci d'avance.

[invite5805c432]

donc ma confusion viens du fait que c'est un polynome anulateur, pas un polynome qui donne l'identité comme dans Caley Hamilton.
ca ne change pas grand chose.
une fois que tu est convaincu que a_0 est non nul [sinon, le polynome P(X)/X= Q(X) est annulateur de f, est de degré < deg P)

on ecrit la formule d'anulateur


et l'a on rearrange

si


tu peux voir que

c'est bon, tu as trouvé f^{-1}!

[invitecbade190]

Je n'ai pas compris. Je ne sais même pas de quoi tu parles.

[invite5805c432]

j'ai


que vaut ?

[invitecbade190]

si .

[invite5805c432]

la première ligne est la defintiion de ton polynomoe anulateur
la 2nd, est deduite de la première en passant le membre a_0 à droite
la 3iem, est déduite de la 2nd, en ecrivant que f^n, n'est pas la dérivée de f, mais la composée n fois de f, et en factorisant f

et si t'es aussi meticuleux, tu peux factoriser f à droite, ou f à gauche pour obternir:



ou tu peux remarquer que ici f est inversible, donc si j'ai une expression ou

je peux multiplier par f^{-1} les 2 membres pour avoir


peut etre je me plante, que c'est un morphisme bizarre sur un corp, donc quand j'ecris f\circ (a_0 Id)=/= a_0 f()

dans ce cas oublie ce que je dis.

[invitecbade190]

Je ne comprends toujours pas ce que tu fais. Est ce que la méthode de Seirios est fausse ?

[invite5805c432]

c'est moi qui est à la masse aujourd'hui.