polynome minimal

[invite31dc2028]

Bonjour,

Soient A et B 2 matrices de M3(C), on sait qu'elles ont le meme polynome caracteristique.

Si on suppose que A n'est pas diagonalisable, comment montrer que le polynome minimal µA est de l'une des trois formes suivantes : avec


Merci de votre aide.
-----

[invite57a1e779]

Si le polynôme minimal n'a que des racines simples, A est diagonalisable, donc...

[leon1789]

Ne pas oublier que sur C, tout polynôme unitaire se décompose en produit de polynômes unitaires de degré 1.

[invite31dc2028]

Le fait que A n'est pas diagonalisable m'informe sur le fait que le polynome caracteristique ne peut pas avoir 3 VP simples.

Il peut donc y en avoir 1 double avec une simple ou bien une triple.

...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Le fait que A n'est pas diagonalisable m'informe sur le fait que le polynome

MINIMAL ne peut pas avoir que des racines simples.

Il n'est pas question du polynôme caractéristique dans l'énoncé.

[invite31dc2028]

effectivement, je crois que je maitrise mal la notion de polynome minimal, en fait ça fait parti d'un dm que j'ai à faire, il me semble que le polynome minimal n'est pas au programme c'est pourquoi je maitrise pas trop la chose.
Mais je vois pas comment dans M3(C) le polynome minimal peut etre de la forme (X-lambda)² ici on est de degré 2. Comment est-ce possible ?

[invite57a1e779]

Calcule les puissances de ; quel est le polynôme minimal de ?

Calcule les puissances de ; quel est le polynôme minimal de ?

[invite31dc2028]

A^2 me donne la matrice nulle, B^2 =0 et B^3 = 0.

Le polynome caracterisque de A est x^3 et celui de B est le meme.

les trois valeurs propres simples sont 0.

Donc le polynome minimal c'est quoi ? x^3 aussi ?

[invite31dc2028]

B^2 = A pardon

[invite57a1e779]

A^2 me donne la matrice nulle, B^2 =0 et B^3 = 0.

Puisque A² est nulle, X² est un polynôme annulateur de A.
Donc le polynôme minimal de A divise X² : c'est X ou X².
Comme ce n'est pas X puisque A est non nulle, c'est donc X².

Il me semble que B² est non nulle, et que B³ est bien nulle.
Donc le polynôme minimal de B divise X³ : c'est X, X², ou X³.
Comme ce n'est ni X, ni X², c'est donc X³.

Le polynome caracterisque de A est x^3 et celui de B est le meme.?

Oui.

[invite31dc2028]

D'accord, je comprends mieux, mais je ne vois pas bien le rapport avec la question de depart et comment je me sert de mon hypothese de départ qui est : A non diagonalisable ?

[invite57a1e779]

Si on suppose que n'est pas diagonalisable, le polynome minimal ne peut être, ni , ni , ni .

[invitec7ed54fc]

Pourquoi (X-lambda) ne peut pas être le polynome minimal?

[invite57a1e779]

Le polynôme minimal est un polynôme annulateur, et si est annulateur, alors est la matrice nulle, et est diagonale.

[invite31dc2028]

Si on suppose que n'est pas diagonalisable, le polynome minimal ne peut être, ni , ni , ni .

Je comprends bien cette facon de raisonner mais seulement avec le polynome caracteristique.

Si A n'est pas diagonalisable alors le polynome caracterisque ne peut pas admettre 3 VP simples.
Le polynome caracteristique ne peut pas etre sous la forme ni car on a une matrice 3x3, donc il faut forcement que le degre de notre polynome caracteristique soit 3.
Mais je sais qu'on parle ici de polynome minimal c'est surement pour ça que tu enleves les puissances.. J'ai du mal à comprendre.

[invite57a1e779]

1. Le polynôme caractéristique est de degré la taille de la matrice, ici 3.
2. Le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur de la matrice.
3. Le polynôme minimal est un polynôme annulateur.
4. Le polynôme minimal divise tous les polynômes annulateurs.

Par 4 et 2, le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique, donc, par 1, est de degré au plus 3.
Si le polynôme minimal (qui est scindé, on travaille sur le corps des nombres complexes...) n'admet que des racines simples, alors, par 3, la matrice est diagonalisable.

Ton problème est donc de trouver les polynômes de degré au plus 3 avec au moins une racine multiple.

[invite31dc2028]

Mais admettre une racine multiple ne m'assure pas que ma matrice ne sera pas diagonalisable, ca depend de la dimension du sous espace propre associée à cette VP... ?

[invite57a1e779]

Théorème : une matrice est diagonalisable si, et seulement si, il existe un polynôme annulateur, scindé et à racines simples.

Le polynôme minimal divise ce polynôme annulateur, donc est également scindé et à racines simples.

[invite31dc2028]

D'accord, je comprends. Merci beaucoup de ton aide.
Tu t'y connais aussi en trigonalisation ? Car cest la suite à cette question, il faut montrer que si mon polynome minimal alors A est semblable à une matrice





Je sais qu'on peut trigonaliser A car scindée.
Mais comment faire pour trouver les 1 et les 0 en haut à droite de la matrice ? C'est en rapport avec la réduction de Jordan il me semble, mais on a simplement vu comment trigonaliser une matrice sans faire apparaitre des 1 et 0 et haut à droite, mais des valeurs quelconques...

[invite57a1e779]

Dans une base de la matrice :



représente l'endomorphisme tel que :



c'est-à-dire :



ce qui nécessite de prendre pour un vecteur propre pour l'unique valeur propre ,
puis pour un antécédent de par ,
puis pour un antécédent de par .
Autrement dit, on détermine un antécédent de par , puis on termine en calculant .

Il reste à voir que c'est possible, c'est-à-dire que tout vecteur propre , élément de , admet un antécédent par , c'est-à-dire appartient à : c'est là qu'intervient le polynôme minimal.

[invite31dc2028]

Autrement dit, on détermine un antécédent w de u par , puis on termine en calculant

Comment je fais ça ? Je n'ai aucune valeur numerique, c'est assez perturbant surtout que je n'ai fait qu'une trigonalisation 3x3 pour l'instant..

[invite57a1e779]

Le polynôme minimal est donc :
– est annulateur et ;
– n'est pas annulateur et .