polynome d'interpolation

[Eogan]

Bonjour,
J'ai un petit problème avec un exercice sur les polynômes d'interpolations: On me donne deux polynômes P et Q de deg<n qui interpolent f à la famille de points (xi) avec i appartenant à [1;n]
On doit montrer que P-Q est divisible par (X-x1)*(X-x2)*...*(X-xn)

Si j'ai bien compris ce qu'est un polynôme d'interpolation, P-Q va s'annuler pour tout les xi, et il suffit que je montre que P-Q est divisible par un des facteurs. Mais je ne vois pas comment!!!!
Merci
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[Coincoin]

Salut,
C'est un résultat connu que si a est racine d'un polynôme alors celui-ci est divisible par (X-a)

[GuYem]

Salut.

Si un polynome R s'annule en un nombre réel disons a, sais tu ce qu'on peut dire de R et du polunome X-a ?

EDIT : grillé par un canard sauvage. Cependant une fois qu'on a dit ça, on n'a pas encore tout à fait fini l'exercice ...

[invite6de5f0ac]

Bonjour,
J'ai un petit problème avec un exercice sur les polynômes d'interpolations: On me donne deux polynômes P et Q de deg<n qui interpolent f à la famille de points (xi) avec i appartenant à [1;n]
On doit montrer que P-Q est divisible par (X-x1)*(X-x2)*...*(X-xn)

Si j'ai bien compris ce qu'est un polynôme d'interpolation, P-Q va s'annuler pour tout les xi, et il suffit que je montre que P-Q est divisible par un des facteurs. Mais je ne vois pas comment!!!!
Merci

Bonjour,

Tu as déjà tout trouvé! Si un polynôme s'annule en un point x (je suppose que tes x_i sont réels), il est divisible par (X - x)... Après, il te reste juste à prouver qu'il est divisible par tous les (X - x_i), ce qui résulte e considérations de degré.

Si par exemple tes points (x_i, y_i) sont tous alignés, ton polynôme R=P-Q sera divisible par tous les (X - x_i), mais évidemment il n'aura aucune raison d'être de degré > 1...

-- françois

P.S. - Je n'en dis pas plus, parce qu'en ce moment je suis un peu patraque et je préfère éviter d'induire les gens en erreur!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Eogan]

Ah merci, comment je n'ai pas pensé à ça...