bonjour.
on a : cosx = [e^(ix) + e^(-ix)) /2
sinx = [e^(ix) - e^(-ix)] /2i
on pose w = e^(i*2Pi/5)
1) de w^0 + w^1 + w² + w^3 + w^4 = 0, démontrer :
cos (2Pi/5) + cos (4Pi/5) = -1/2
2) de : cos (2Pi/5)*cos (4Pi/5) + sin(2Pi/5)*sin(4Pi/5) = cos (2Pi/5)
et de : "même chose mais avec un -" = cos (4Pi/5)
démontrer : cos (2Pi/5)*cos(4Pi/5) = -1/4
j'ai essayé d'utiliser les fomules d'Euler mais ça ne marche pas... par quoi dois-je commencer ? merci !!
Bonjour,
Tu écris w = cos(2pi/5) + i.sin(2pi/5), et tu développes. En identifiant les parties réelles et imaginaires, ça vient tout seul. Ah si, il faut encore penser que w^k = cos(2k.pi/5) + i.sin(2k.pi/5).
-- françois
Ca marche aussi avec les formules d'Euler (je n'ai pas compris si l'exercice demandait de les utiliser ou si c'était juste ton idée).
cos(2PI/5) = (w+1/w)/2
et on fait pareil avec cos(4PI/5)
Alors, pour 2), j'ai eu :
cos²(2Pi/5)*cos²(4Pi/5) - sin²(2Pi/5)*sin²(4Pi/5)
= [(w+w^-1)²(w²+w-²)² - (w-w^-1)²(w²-w-²)²] /16
= [(w²+2+w)(w^4+2+w) - (w²+2+w)(w^4+2+w)] /16
= [(w^6 + w^5 + 2w^4 + w^3 + 3w² + 4w + 4) - (w^6 + w^5 - 2w^4 + w^3 - w² - 4w - 4)] /16
= [w^4 + w² + 2w + 2] /4
w^4 + w² + 2w + 2 = -1 ?!Merci
Non, pour la question 2), la seule chose à faire est de faire la somme des deux relations qui te sont données et d'utiliser la 1).
bien sûr !!!!
C'est stupide....
Mais il y a un truc que je n'arrive pas à comprendre en ce qui concerne 1) :
j'ai :
1+cos(2Pi/5)+cos(4Pi/5)+cos(6Pi/5)+cos(8Pi/5) = 0
et alors je fais quoi maintenant ? Est-ce que
-(1+cos(6Pi/5)+cos(8Pi/5)) = -1/2 ???
Merci !
(6pi/5) et (8pi/5), c'est > pi.
Tu peux donc te ramener à des angles compris entre 0 et pi
par cos(pi - x) ou cos (pi + x)...
-- françois
Je ne comrpends pas...
J'ai été un peu bref... Essaye de faire un dessin (2pi/5, ça fait 72°).
Tu verras que cos(2pi/5) = cos (8pi/5) et cos (4pi/5) = cos (6pi/5). Parce que par exemple, cos(8pi/5) = cos (10pi/5-2pi/5) = cos (2pi - 2pi/5) = cos (2pi/5). Pareil pour l'autre.
C'est plus clair?
-- françois
aaah mais ouais, tu as transformé tout ce qui est hors ]-Pi;Pi] en angle principal !
merci, je vais essayer de immédiatement...
Cela a marché ! Je vous en suis très reconnaissant, et maintenant je sais qu'il faut convertir en angle principale !
J'aurais juste encore une dernière petite chose à vous demander :
cos(2Pi/5)*cos(4Pi/5) - sin(2Pi/5)*sin(4Pi/5) = cos(4Pi/5)
j'ai tenter de remplacer caque membre par les w, et j'ai obtenu :
cos(2Pi/5)*cos(4Pi/5) - sin(2Pi/5)*sin(4Pi/5) = cos(4Pi/5)
= ([w^3 + 3^-1 + w + w^-3] - [-(w^3 - w^-1 - w + w^-3)]) /4 = [w^3 + w^-3]/2
ce qui correspond à cos(6Pi/5), et pas cos(4Pi/5)...
Merci de m'aider encore une petite fois !
Relis mon précédent post...
cos(6pi/5) ou cos(4pi/5), c'est kif. J'insiste sur le fait de faire un dessin. C'est instructif et éclairant.
-- françois
Au fait, tu pouvais directement voir que
cos(2pi/5)cos(4pi/5) - sin(2pi/5) sin(4pi/5)
c'est cos(a+b) avec a=2pi/5 et b=4pi/5, donc c'est bien cos(6pi/5) Après, il faut réduire entre -pi et +pi, comme pour le coup d'avant.
-- françois
Et pour le plaisir, la version Euler donnait:
cos(2PI/5) + cos(4PI/5) = (w+1/w)/2 + 2[(w+1/w)/2]² - 1
= (w²+w+1/w+1/w²)/2 = (w^4+w^3+w+1)/2w²
= -w²/2w² = -1/2
C'est sûr, c'est plus joli...Envoyé par matthias
-- françois
Vous m'avez été d'une aide précieuse, ceci est absolument gentil ! lol
merci, sincèrement.
Sinon, que pensez-vous de moi ? J'ai du boulot, ou juste quelques petits trucs à éclaircir, rien de grave ?
Pas vraiment, mais c'est peut-être plus dans l'esprit de l'énoncé.C'est sûr, c'est plus joli...
Il faut t'entrainer un peu pour acquérir un peu d'automatismes sans doute, mais de toute façon personne ne se permettra de donner un jugement véritable sur ton niveau ici, surtout pas sur un seul exercice.
Sinon, il n'y avait pas un
3) En déduire les valeurs de cos(2PI/5) et cos(4PI/5) ?
si, mais ça c'est très facile
Oui, je pense. À mon époque, on apprenait les formules pour cos(a+b) etc. en Troisième, mais sans démonstration, donc par cœur. Et il y en avait une ribambelle, à connaître sur le bout des doigts. Par contre, on n'apprenait à écrire exp(iz) = cos(z) + i.sin(z) qu'en Terminale, et encore une fois sans démonstration: on décrétait que c'était comme ça (pour z complexe tout de même), mais comme on ne connaissait pas les développements en séries entières, on était juste supposé comprendre que c'était pas autrement et qu'on nous expliquerait quand on serait grands.Pas vraiment, mais c'est peut-être plus dans l'esprit de l'énoncé.C'est sûr, c'est plus joli...
Alors, à côté, les relations (formules?) d'Euler sont bien plus agréables, et plus symétriques. Donc plus jolies.
Comme dit matthias, ne t'inquiète pas! Tu t'es très bien sorti de cet exo. Quelques exercices d'assouplissement pour acquérir les "bons" réflexes, mais le genre d'exo que tu as proposé est justement fait pour ça! C'est en limant qu'on devient limaçon...
-- françois
Pas de soucis je me sens fort à présent
