bonjour j'ai un probleme j'arrive pas a demontre que g(x)=f(x)f(-x).
enoncé:
considerons le probleme suivant : quelles sont les fonctions f derivable sur R telles que f'(x)=f(x)pour tout réel x et telle que f(o)=1?
on va supposer ici qu'une telle fonction existe, et on va chercher:
-à en construire une courbe representative approchée en utilisant la méthode d'euler.
-à en determiner quelque propriété.
partie A
on va construire des courbes approchées d'une telle fonction f. Pour cela, on va utiliser le methode d'euler,qui consiste à utiliser l'approximation :
f(x) ~f(a)+f'(a)(x-a)
on decoupe l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur 1/n (n étant un entier naturel non nul).
on note t0 (0 est en indice):
to=0,t1=1/n,...tk=k/n,....tn=1 les bornes des differentes intervalles abtenus classés par ordre croissant. on note yo, y1,...,yn les valeurs approchées de f(0), f(1),...,f(tn) obtenus a l'aide de la méthode d'euler.
1.comme f(0)=1, on pose yo=1.
montre que f(t1)~1+ 1/n. on prend donc y1=1+ 1/n.
2. en considerant que f(t1)= 1+ 1/n (on utilise l'approximation de la fonction f), montrer que
y2 =(1+1/n)²
3. montrer par recurrence que pour tout entier k compris entre 0 et n:
yk=(1+ 1/n)exposant k
4. dans un repere orthonormé d'unité 10 cm, construire les courbes approchant f sur[0;1] pour n=5 , n=10 et n=20
Partie B: c'est là que je bloque
soit f une fonction verifaint les condition énoncées au debut du probleme. on va montrer quelques proprietes de cette fonction.
1.on defintla fonction g sur R par g(x)=f(x)f(-x)
a) montrer que g est derivable sur R et calculer sa dérivée.
b)que peut on en deduire? calculer g(0) et en deduire l'expression de g(x) en fonction de x.
c) montrer que f ne s'annule pas sur R.
2. soit a un réel. on definit à present la fonction h sur R par:
h(x)= f(a+x)/f(x)
a) montrer que h est derivable sur R et calculer sa dérivée.
b) calculer h(0) et en deduire l'expression de h.
c) montre alors que pour tous réel a et x , on a:
f(a+x)=f(a)f(x)
quel objet mathématique possède la même propriete?
Merci de bien vouloir m'aider.
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Envoyé par Albus 
