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Euler



  1. #1
    Descarte

    Euler


    ------

    bonjour j'ai un probleme j'arrive pas a demontre que g(x)=f(x)f(-x).

    enoncé:
    considerons le probleme suivant : quelles sont les fonctions f derivable sur R telles que f'(x)=f(x)pour tout réel x et telle que f(o)=1?
    on va supposer ici qu'une telle fonction existe, et on va chercher:
    -à en construire une courbe representative approchée en utilisant la méthode d'euler.
    -à en determiner quelque propriété.

    partie A

    on va construire des courbes approchées d'une telle fonction f. Pour cela, on va utiliser le methode d'euler,qui consiste à utiliser l'approximation :
    f(x) ~f(a)+f'(a)(x-a)

    on decoupe l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur 1/n (n étant un entier naturel non nul).
    on note t0 (0 est en indice):
    to=0,t1=1/n,...tk=k/n,....tn=1 les bornes des differentes intervalles abtenus classés par ordre croissant. on note yo, y1,...,yn les valeurs approchées de f(0), f(1),...,f(tn) obtenus a l'aide de la méthode d'euler.

    1.comme f(0)=1, on pose yo=1.
    montre que f(t1)~1+ 1/n. on prend donc y1=1+ 1/n.

    2. en considerant que f(t1)= 1+ 1/n (on utilise l'approximation de la fonction f), montrer que
    y2 =(1+1/n)²

    3. montrer par recurrence que pour tout entier k compris entre 0 et n:
    yk=(1+ 1/n)exposant k
    4. dans un repere orthonormé d'unité 10 cm, construire les courbes approchant f sur[0;1] pour n=5 , n=10 et n=20

    Partie B: c'est là que je bloque

    soit f une fonction verifaint les condition énoncées au debut du probleme. on va montrer quelques proprietes de cette fonction.

    1.on defintla fonction g sur R par g(x)=f(x)f(-x)
    a) montrer que g est derivable sur R et calculer sa dérivée.

    b)que peut on en deduire? calculer g(0) et en deduire l'expression de g(x) en fonction de x.

    c) montrer que f ne s'annule pas sur R.

    2. soit a un réel. on definit à present la fonction h sur R par:

    h(x)= f(a+x)/f(x)

    a) montrer que h est derivable sur R et calculer sa dérivée.
    b) calculer h(0) et en deduire l'expression de h.
    c) montre alors que pour tous réel a et x , on a:

    f(a+x)=f(a)f(x)
    quel objet mathématique possède la même propriete?


    Merci de bien vouloir m'aider.

    -----
    Dernière modification par Descarte ; 27/10/2006 à 21h36.

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  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : Euler

    Bonsoir.

    Une proposition pour
    f(a+x)=f(a)f(x)
    quel objet mathématique possède la même propriete?
    La fonction exponentielle peut-être...
    ea+x=eaex

    Désolé, pour le reste je laisse faire les pros

    Duke.

    EDIT : Bienvenue !
    et encore désolé de ne pas t'aider davantage ! J'essaierai de faire mieux la prochaine fois

  4. #3
    Descarte

    Re : Euler

    ok merci mais mon prof m'a dit qu'on connaissais cette objet avant le lycée

    pas de probleme
    Dernière modification par Descarte ; 27/10/2006 à 21h46.

  5. #4
    Tonton Nano

    Re : Euler

    Bonsoir,

    Pour la question B1a,
    f est dérivable sur R et g est un produit de fonctions dérivables sur R donc g est dérivable sur R ... ça ne pose pas de problèmes.

    g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) puis on remplace f(x) par f'(x) et g'(x) = ...

    b)
    g(0) = f(0)f(0) = 1 et avec l'expression de g'(x) que l'on a calculé, on sait que la fonction g est ... donc que g(x) = ...

    On verra plus tard pour la suite !

  6. #5
    Descarte

    Re : Euler

    dsl mais g pa compris comment tu fait

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Albus

    Re : Euler

    Salut !

    1)a- g est le produit de 2 fonctions dérivables, donc g est dérivable...
    Pour la dérivée tu utilises la formule de dérivation du produit de 2 fonctions, mais également de la composée pour dériver f(-x) !

    Tu dois trouver une valeur particulière pour la dérivée, et la déduction découle facilement !

    b- g(0) = f(0)*f(0)
    Or, dans les premières lignes, on te donne la valeur de f(0)...

    c- g(x) = f(x)*f(-x) est définie sur R !
    Et f aussi, donc tu peux définir f(x) comme étant g(x)/f(-x), or f est définie sur R donc f(-x) ne peut s'annuler (ce qui donnerait une interdiction de calcul), d'où f ne s'annule pas.

    Raisonnement à confirmer quand même !


    Et le reste peut se faire sur le même modèle !





    PS: je crois qu'il découvre l'expo justement, avec ce DM !
    PS²: on peut donner les soluces comme ça ici ? J'avais cru lire que c'était mieux de les faire comprendre !

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  10. #7
    Tonton Nano

    Re : Euler

    Citation Envoyé par Albus Voir le message
    c- g(x) = f(x)*f(-x) est définie sur R !
    Et f aussi, donc tu peux définir f(x) comme étant g(x)/f(-x), or f est définie sur R donc f(-x) ne peut s'annuler (ce qui donnerait une interdiction de calcul), d'où f ne s'annule pas.
    Je ne suis pas trop d'accord pour diviser par f tant qu'on est pas sur que f ne s'annule pas !

    Le plus simple ici est un raisonnement par l'absurde :
    Je suppose que f s'annule.
    Il existe donc un x dans R tel que f(x) = 0 donc g(x) = f(x)f(-x) = 0. Or, la réponse à la question précédente nous informe que ça n'est pas possible donc, j'ai eu tord de faire cette supposition. f ne s'annule pas.



    Pour dériver g, comme le dit Albus : dérivée d'un produit puis d'une composée et on remplace f'(x) par f(x).

  11. #8
    Albus

    Re : Euler

    Exact Tonton Nano, mea culpa !
    J'ai été pris d'un élan de folie soudain...

    Enfin oui le raisonnement par l'absurde était évident... J'ai honte !

  12. #9
    Descarte

    Re : Euler

    ok je vais essayer de faire la derivée et oui Albus c'est pour nous faire decouvrir l'exponentiel le dm

  13. #10
    Descarte

    Re : Euler

    le jepige pas j'arrive a faire les derivé mais les composé nn

  14. #11
    Albus

    Re : Euler

    J'aime bien les phrases innocente "On va supposer qu'une fonction définie telle que f'(x)=f(x) existe"

    Ca fait vraiment " " !

  15. #12
    Descarte

    Re : Euler

    ban si tu les iame bien jvai de presenter mon prof lol

    pour le moment j'ai pour la derivée cela :

    derivé du produit: f '(x)f(-x)+ f(x)f'(-x)
    c bon ?

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  17. #13
    Tonton Nano

    Re : Euler

    g est le produit de deux fonctions. Pour dériver g, il faut utiliser la formule :

    (uv)' = u' v + u v'

    mais l'une des deux fonctions est la composée de f et de -x donc, ici on utilise

    (v o u)' = u' (v' o u)
    avec u(x) = -x et v(x) = f(x)

    on a alors :
    g'(x) = f'(x) f(-x) + f(x) (-f'(-x))

    Or on sait que f(x) = f'(x) donc
    g'(x) = f(x) f(-x) - f(x) f(-x)

  18. #14
    Tonton Nano

    Re : Euler

    Citation Envoyé par Descarte Voir le message
    ban si tu les iame bien jvai de presenter mon prof lol

    pour le moment j'ai pour la derivée cela :

    derivé du produit: f '(x)f(-x)+ f(x)f'(-x)
    c bon ?
    Non, tu n'as pas dérivé la composée f(-x)

  19. #15
    Albus

    Re : Euler

    et donc g'(x) = 0 !

  20. #16
    Descarte

    Re : Euler

    ok ban dit donc j'en étai loin

    ok pour g ' (x) = 0 logique

  21. #17
    Descarte

    Re : Euler

    on en deduit que g(o) = 1

  22. #18
    Tonton Nano

    Re : Euler

    Ok
    donc que vaut g(x) ?

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  24. #19
    Descarte

    Re : Euler

    franchement je suir d'accord pour dire que g ' (x) = 0 et pour dire de g(o)=1 mais pr le 1 b que peut on en deduire et l'expression de g(x) en focntion de x, aucun idée

  25. #20
    Tonton Nano

    Re : Euler

    La dérivée d'une fonction est nulle donc la fonction est ...

    Un indice : quelle est la dérivée de u(x) = 4, de v(x) = 37 et de w(x) = pi/12 ?

  26. #21
    Descarte

    Re : Euler

    franchement pr la 1 b quoi en deduire je sai pas , g(o)=1 ok et lexpression je voi pa comm faire

  27. #22
    Albus

    Re : Euler

    Descarte:

    Si la dérivée d'une fonction est nulle, alors cette fonction est ? C*******E

    Donc tu peux trouver la valeur de g(x) pour tout x réel en prenant une valeur particulière.
    On te donne f(0), donc tu calcules g(0).
    Qu'en déduire sur la valeur de g(0) ?

    Celle de g(x), pour tout x réel ?

  28. #23
    Descarte

    Re : Euler

    comme g'(x) et nulle on en deduit que g(x) est aussi nulle

  29. #24
    Tonton Nano

    Re : Euler

    Quelle est la dérivée d'une constante ?

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  31. #25
    Descarte

    Re : Euler

    derivée d'une constante c'est 0 je pense

  32. #26
    Albus

    Re : Euler

    Citation Envoyé par Descarte Voir le message
    comme g'(x) et nulle on en deduit que g(x) est aussi nulle
    Ah non, attention à ce genre de confusions qui peuvent te foirer tout un raisonnement
    Revois ton cours sur les dérivées, et le cas particulier d'une dérivée nulle.

  33. #27
    Tonton Nano

    Re : Euler

    Citation Envoyé par Descarte Voir le message
    comme g'(x) et nulle on en deduit que g(x) est aussi nulle
    Ah non ! Pas ça !!!!

  34. #28
    Descarte

    Re : Euler

    ba si la derivée d'une constante c'est zéro

  35. #29
    Tonton Nano

    Re : Euler

    Citation Envoyé par Descarte Voir le message
    derivée d'une constante c'est 0 je pense
    Oui et la réciproque est vrai :

    une fonction dont la dérivée est nulle est constante
    donc g(x) = g(0) pour tout x

  36. #30
    Albus

    Re : Euler

    Et g(0) = (f(0))²


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