Série

[invitebabb7049]

Bonjour,
Je beug sur quelques exos d'application:

A) On pose pour n≥1, la fonction fn de R dans R qui à x associe cos(nx)/(n^2). Montrer que ∑fn converge sur R et définit une fonction continue.

Le domaine de définition de fn est R sa dérivée est fn'(x)=(-(n^2)sin(nx)-2cos(nx))/(n^3) le domaine de définition de fn'(x) est R aussi donc elle est continue.
je ne sais pas comment montrer que ∑fn est convergente..

B) Pour tout entier n≥1 et tout réel x≥0 on pose fn(x)=x/(n(n+x)). Montrer que la série ∑fn définit une fonction dérivable sur ]0;+oo[
je ne sais pas non plus comment faire pour celle la...

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

A) Pour la convergence, tu peux montrer la convergence absolue en majorant par une série de Riemann (indépendante de x). Et comme c'est une convergence normale, la continuité de la somme s'en déduit (revois le cours si ce n'est pas clair).
B) Là, il va falloir que tu ailles approfondir ton cours pour voir comment on peut justifier qu'une fonction somme d'une série est dérivable. Dans un premier temps, tu peux commencer par regarder la convergence simple (x fixé), en particulier pourquoi 0 n'est pas dans l'intervalle proposé, puis une forme ou une autre de convergence uniforme.

Bon travail !

[invitebabb7049]

en effet pou la A)
j'ai commencé par me dire
-1/(n^2)≤cos(nx)/(n^2)≤1/(n^2)
Le probleme c'est que meme si c'est indépendant de x on peut utiliser le théorème des gendarmes et ainsi dire que vu que ∑1/(n^2) converge alors ∑fn converge aussi ?

[invitebabb7049]

B) il faut passer par les dérivés donc..
dire que chaque terme est dérivable on a fn(x)=x/(n(n+x)) et fn'(x)= 1/((n+x)^2)
donc les termes sont bien dérivable ensuite il faut dire que ∑fn' converge
or 1/((n+x)^2)∾1/(x^2)=Vn
∑f'n∾∑Vn Vn est une série de Riemann elle est convergente donc ∑fn' est convergente donc ∑fn définit une fonction dérivable
Mais pourquoi juste sur [0;+oo[ ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

en effet pou la A)
j'ai commencé par me dire
-1/(n^2)≤cos(nx)/(n^2)≤1/(n^2)
Le probleme c'est que meme si c'est indépendant de x on peut utiliser le théorème des gendarmes et ainsi dire que vu que ∑1/(n^2) converge alors ∑fn converge aussi ?

Le théorème des gendarmes concerne des limites. Si tu peux l'appliquer à la série (là tu parles du terme général, pas de la somme), pourquoi pas ?
mais en apprenant ton cours, tu verrais sans doute des méthodes bien plus rapides (que je t'ai signalées). Tant pis pour toi si tu bricoles longuement ...

[gg0]

Message #4 : Tant que tu n'apprendras pas ton cours .... Une série de fonctions dérivable simplement convergente n'a généralement pas une somme dérivable.

"Mais pourquoi juste sur [0;+oo[ ... " et ne liras pas l'énoncé ... tel qu'il est.

Pour les négatifs, l'exercice serait nettement plus difficile.