Géormetrie+ mise en équation

[invite5b6b64af]

Bonjour à tous,

J'espére que je ne me suis pas trompé de section.
Voici pas mal de temps que je planche sur ces quelques problémes géometriques avec mise en équation, la géometrie n'a jamais été mon forrt mais toujours en est il que ca ne ressemble à rien que je ne connaisse et malgrés mes recherches je n'aboutis toujours pas.

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Exo
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I)
On considère des rectangles ABCD inscrit dans un demi-cercle de rayon 1 et de centre O comme illustré ci-dessous : [DC] sur le diamétre et A,B sur le cercle

On appelle x la longueur OC

a) Exprimez en fonction de x l'aire du rectangle ABCD

b) Donnez les domaine de définition correspondant à la situation étudiée
A l'aide de la calculatrice vérifiez qu'il existe une valeur de x pour lquelle l'aire est maximale. On donnera une valeur approchée de x et de ce maximum.

c) Existe-til u nargument géométrique qui donne la valeur exacte ?

II)
On considére un rectangle ABCD tel que AB=4cm et AD=3cm.
On considére un point variable M sur la diagonale [AC]. On pose x=AM

Exprimez en fonction de x l'aire du domaine polygonale ABMD.

III)
On considére un trapèze de petite base AB=2cm et de grande base CD=3cm.
On pose h pour la hauteur correspondante. SOit I l'intersection des 2 diagonales.
Les 2 diagonales partagent l'intérieur du trapèze en 4 triangles.
a) Exprimez l'aire de chacun de ces triangles en fonction de h.
b) Vérifiez que le rapport de chacune à l'air totale est indépendant de h.
(Indication : Commencez par les 2 triangles de base AB et CD et pensez au théoreme de Thalès)
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Ce que j'ai tenté
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Pour le I) J'ai exploré la piste du 2x² pour exprimer l'aire de ABCD mais a la calculatrice cela me donnait une courbe bizzare lors de la représentation graphique pour le domaine de définition que j'avais choisi [0;1] qui je suis sûr est d'ailleur faux.

Pour le II) Je bloque carremement sur le moyen de calculer l'aire des deux triangles qui forment ce domaine polygonale, je n'arrive pas à trouver la relation avec x.

POur le III) Je bloque carrement sur le a) et la facon d'exprimer la hauteur
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Merci d'avance pour votre aide,
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[invitebb921944]

Bonjour.

J'ai exploré la piste du 2x² pour exprimer l'aire de ABCD mais a la calculatrice cela me donnait une courbe bizzare lors de la représentation graphique pour le domaine de définition que j'avais choisi [0;1] qui je suis sûr est d'ailleur faux.

Comment sais-tu que la largeur du rectangle vaut x ? Tu ne peux pas le savoir étant donné que c'est totalement faux, sauf dans la configuration particulière où tu as placé C de manière à ce que OC=1/2.

Hélas ici, on veut une expression générale.
Tu sais que la longueur de ton rectangle vaut 2x.
Tu connais le rayon de ton demi cercle.

Ne peux-tu pas, en te placant dans un triangle bien choisi déterminer la longueur BC (en fonction de x évidemment) en utilisant ton rayon qui vaut 1 ?

[invite35452583]

Bonjour,

Pour les trois exercices, un point commun : chercher des symétries.

I)
a) L'aire d'un rectangle mesure le produit de la longueur des deux côtés.
On connaît OC, peut-on connaître OD? oui si on trouve (et la démontre) une symétrie (évidente).
Pour connaître la mesure de BC, voit le message de Ganash.
b) x est la longueur OC, la question revient à "quelles sont les valeurs prises par OC?"
c) partie la plus délicate
Par la 1ère symétrie, on peut trouver un plus petit rectangle tel que son aire mesure la moitié de l'aire du rectangle ABCD.
Par une autre symétrie, on peut trouver un triangle tel que son aire mesure la moitié du second rectangle (soit le quart de l'aire du rectangle ABCD).
Le problème se ramène ainsi à trouver pour quelle position particulière de C l'aire de ce triangle est la plus grande.
Dans ce triangle deux éléments sont constants : une longueur et un angle. L'aire d'un triangle mesure la moitié du produit de la longueur d'une base par la mesure de la hauteur correspondante. La longueur de cette base peut être choisie constante, l'angle constant informe que le triangle T a une particularité qui permet de connaître la hauteur la plus longue possible.

II) Tu as toi même parler de deux triangles, comment sont-ils l'un par rapport à l'autre que peut-on dire de leurs aires respectives?
L'aire d'un triangle mesure...
On peut trouver un côté d'un de ces triangles que l'on peut facilement écrire en fonction de x. Quelle est la hauteur correspondante, a-t-on besoin de x pour calculer sa longueur?
Pour le calcul de la longueur de cette hauteur, une astuce classique est de calculer de deux façons l'aire d'un triangle.

III)
a) L'indication te donne une bonne part de ce qu'il faut faire. Le théorème proposé permet de calculer sans grande difficulté la hauteur de chacun de ces triangles.
Pour les autres triangles (penser symétrie et somme d'aires).
b) Simples calculs de quotient.