Adhérence

[invitedb34050e]

Bonsoir,
svp je ne vois pas comment une partie A d'un espace normé est incluse dans son adhérence?
L'adhérence n'est-elle pas l'ensemble des points x de A tel qu'il existe une suite(an) de A qui converge vers x. Je vois la réciproque ...
Merci
-----

[gg0]

Heu ... "L'adhérence n'est-elle pas l'ensemble des points x de A tel qu'il existe une suite(an) de A qui converge vers x." Non, ça redonne A (suites constantes). si E est l'espace normé,
L'adhérence n'est-elle pas l'ensemble des points x de E tel qu'il existe une suite(an) de A qui converge vers x.

Cordialement.

[invitedb34050e]

Non, ça redonne A (suites constantes).

Pardon ? je ne vois pas

[invite9dc7b526]

L'adhérence d'une partie A est aussi le plus petit fermé qui contienne A.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Non, l'adhérence est la plus petite partie fermée de E (ton evn) qui contient A. L'adhérence de A est donc plus grande que A.

[invitedb34050e]

Ah oui c'est vrai merci . Mais comment peut-on voir l'inclusion en utilisant la première définition?

[inviteea028771]

Pour chaque point a de A, prendre la suite constante a_n = a

[invitedb34050e]

merci par exemple pourquoi l'adhérence de [0,1[ est [0,1] ?

[invite9dc7b526]

parce que [0,1] est fermé et qu'entre [0,1[ et [0,1] il n'y a pas de fermé (pas d'autre ensemble du reste).

[invitedb34050e]

oui merci je vois le résultat en utilisant le fait que l'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A mais je veux le voir en utilisant les suites..

[gg0]

Par les suites : Toute suite à termes positifs a une limite positive; toute suite à termes strictement inférieurs à 1 a une limite inférieure ou égale à 1. Et comme [0;1[ est inclus dans son adhérence ...

Cordialement.

[invitedb34050e]

Par les suites : Toute suite à termes positifs a une limite positive; toute suite à termes strictement inférieurs à 1 a une limite inférieure ou égale à 1. Et comme [0;1[ est inclus dans son adhérence ...

Cordialement.

D'accord merci beaucoup ^_^

[invitedb34050e]

J'ai une autre question svp sur les fermés. Comment démontrer que P(E) (l'ensemble des parties de E espace normé) est formé de fermés, ouverts et d'autres ni ouverts ni fermés ?
Merci

[gg0]

Tout ensemble de parties est "formé de fermés, ouverts et d'autres ni ouverts ni fermés ". Si tu veux avoir les trois catégories, il faut une condition :
Pour un espace vectoriel normé E non réduit à 0, tu prends E comme ouvert et comme fermé et si x est un élément non nul de E, l'ensemble {kx/ 0<k<=1} qui est non fermé (exercice facile).

Cordialement.

[invitedb34050e]

Pour un espace vectoriel normé E non réduit à 0
Cordialement.

Pourquoi exclure ce cas ? si E={0} on a P(E)={{x },∅} et donc P est formé de fermé ({x}) et du vide qui peut être conçu comme fermé ou ouvert, non?

tu prends E comme ouvert et comme fermé et si x est un élément non nul de E, l'ensemble {kx/ 0<k<=1} qui est non fermé

Je n'ai pas compris. Est-ce que je dois distinguer 3 cas?
Si E est ouvert alors P(E) = {∅, E} est formé d'un ouvert (E) et le vide (ouvert ou fermé)
Si E est fermé alors P(E) = {∅, E} est formé d'un fermé (E) et le vide (ouvert ou fermé)
Et après , si E est quelconque (ni ouvert ni fermé)?je n'ai pas saisi l'utilisation de l'ensemble {kx/ 0<k<=1}
Merci

[gg0]

Tu devrais lire plus lentement pour être sûr d'avoir compris. Si tu avais relu le message au lieu de poster ici, tu aurais vu : "Si tu veux avoir les trois catégories".

Pour la suite, il va falloir revoir la notion de P(E) pour "un espace vectoriel normé E non réduit à 0" et apprendre ce que sont les ouverts : E est un ouvert (et un fermé) vu que son complémentaire ∅ est fermé (et ouvert).

Donc prends le temps de réfléchir. Souvent, on comprend tout seul facilement.