adhérence

[invite371ae0af]

Bonjour,

J'aurai une question sur l'adhérence de A={(-1)ⁿ+(1/n)}

je pense que adh(A)=A U {-1,1} mais comment le montrer?


merci de votre aide
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[invite705d0470]

J'ai la même impression ^^

Bon, je ne connais pas le méthode, mais j'aurais cherché simplement à montrer la double inclusion:
- car pour tout élément de ce premier ensemble, il existe un voisinage qui ne contient aucun point de A (il n'appartient pas à l'adhérence de A en conséquence).
En effet, si c'est immédiat. Le cas 0 est aussi trivial. On considère alors et . On suppose sans perte de généralité a positif, et on montre . Les éléments de A positifs étant les termes d'une suite positive croissante strictement donnée par , on obtient du même coup que pour un voisinage de longueur par exemple a est isolé de A.

- Ensuite, on voit bien que : pour tout , donc 1 appartient à l'adhérence, et par suite on a -1 aussi. On a la seconde inclusion, et l'égalité

Mais bon, il doit exister des méthodes bien plus efficaces !
Je laisse les vrais mathématiciens te montrer.

[Seirios]

Bonjour,

Une autre méthode est d'écrire avec et . Or ces deux suites sont convergentes vers 1 et -1 respectivement. L'adhérence de A correspond à l'ensemble des limites de suites dans A ; or une telle suite finit par prendre toutes ces valeurs dans l'une des images des deux suites précédentes, c'est-à-dire qu'elle peut-être vue comme une sous-suite de ou , d'où un convergence dans A (si le suite est stationnaire) ou dans {1,-1}.

Ce qui montre bien que .

[invite705d0470]

Oui, c'est l'idée que j'ai eue juste après avoir posté en fait ^^(d'ailleurs, on le retrouve un peu, mais plus maladroitement, lorsque j'écris A comme ensemble des éléments de deux suites )

[A voir en vidéo sur Futura]