Définie positivité d'une matrice par blocs

[inviteace408b7]

Bonjour tout le monde,

Je me tourne vers vous car j'ai du mal à prouver un résultat qui me semble empiriquement vrai après de nombreux tests Matlab. Je pose donc le cadre. Soient :


- circulante, symétrique, et définie positive.
- . Elles ne contiennent aucun 0.
- matrices de taille définies comme suit : où est le produit de Schur (élément par élément, le .* sous Matlab).


Etant convaincu que c'est le cas, je cherche à prouver proprement sur le papier que la matrice suivante est définie positive :



Etat de la réflexion :

- J'ai prouvé que les l'étaient

- En remarquant que , et donc que est symétrique, j'ai essayé de m'inspirer des résultats sur le complément de Schur, sans succès : Complément de Schur et définie positivité

- Je pense que la façon de construire les , pour différent de , joue et que le résultat ne serait pas vrai avec des matrices quelconques telles que .

Avez-vous des pistes ? Cela vous semble-t-il soluble ?

Merci beaucoup.
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[0577]

Bonsoir,
ce qui suit est un contre-exemple. J'espère ne pas avoir fait d'erreur de compréhension de la question.

Soit . C est circulante, symétrique définie positive.
Soit
alors :


qui n'est pas définie positive car de déterminant 0.

En revanche, elle est positive : je ne sais pas si le résultat espéré est vrai en remplaçant défini positif par positif.

[0577]

En fait je crois qu'il est vrai que B est toujours positive.
Comme il est tard, je posterai la déomonstration demain.

Remarque : si k > l, alors B n'est jamais définie positive ! (sauf erreur ...)

[inviteace408b7]

Merci beaucoup pour tes réponses, et ta recherche du coup. J'ai donc réfléchi à ton contre-exemple qui m'a fait réaliser que je n'ai pas donné toutes les hypothèses (je vais éditer le premier post). Mais cela soulève de nouvelles interrogations.

Hypothèses omises :

- Toutes les matrices sont différentes

- Et surtout (et c'est là qu'il y a discussion), l n'est pas "trop petit". Expérimentalement, je remarque que du moment où l>4 ou 5, B est toujours définie positive. J'ai du mal à être au clair avec les raisons qui font que c'est comme ça, mais je me dis que ça doit être lié au fait que si l est suffisamment grand, cela rend "improbable" qu'il y ait dans la matrice globale construite des colonnes liées et donc finalement un déterminant nul.

Je fournis un code tout simple Matlab/Scilab que j'ai utilisé pour mes tests. J'y utilise l'identité pour C :

C=eye(50,50);
sp=zeros(100,1);
for i=1:100
epsi0=rand(50,10);
epsi1=rand(50,10);
epsi2=rand(50,10);
B01=epsi0*epsi0'.*C;
B01=epsi0*epsi1'.*C;
B10=epsi1*epsi0'.*C;
B12=epsi1*epsi2'.*C;
B21=epsi2*epsi1'.*C;
B20=epsi2*epsi0'.*C;
B02=epsi0*epsi2'.*C;
B0=epsi0*epsi0'.*C;
B1=epsi1*epsi1'.*C;
B2=epsi2*epsi2'.*C;
SP=spec([B0 B01 B02;B10 B1 B12;B20 B21 B2]);
ct=0;
for j=1:150
if real(SP(j,1))>0.0001
ct=ct+1;
end
end
if ct==150
sp(i)=1;
end
end

!! EDIT !! : Je viens te relire et réalise que tu touches peut-être du doigt le point clé. Quelque chose du genre l>k implique B définie positive. Sinon elle est positive ? Je vais y réfléchir en tout cas et suis preneur si tu as creusé le sujet.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteace408b7]

J'ai de suite fait quelques tests. Et du coup grâce à toi, je me suis convaincu de ce qui suit, qui sont donc les nouvelles conjectures à prouver, si possible :

- positive

- définie positive

[0577]

Bonsoir,

Je commence par mettre des indices partout (pour donner des noms aux coefficients des matrices)




Par définition de on a

Soit la forme quadratique associée à C
et la forme quadratique associée à B (les
sont les coordonnées de l'espace sur lequel agit C : i est l'indice des blocs et k un indice "à l'intérieur des blocs").

Par définition de B, on a :


On définit pour tout i=1...k, q=1,...l :
. C'est un vecteur à n composantes. Alors :



Appelons (*) cette formule. (*) montre que B est positive car C l'est.

Remarquons que pour obtenir ce résultat, on n'a utilisé aucune des hypothèses suivants : C circulante, distincts et sans zéro.

Sur la formule (*), on comprend tout de suite pourquoi B n'est pas forcément positive même si C l'est : les
peuvent être nuls sans que les le soient.
Si C est définie positive, B l'est si et seulement si le système d'équations linéaires :

à nl équations et nk inconnues (les ) n'a pas d'autre solution que (0,...,0).
Si l<k : il y a toujours d'autres solutions, B 'est jamais définie positive.
Si l est supérieur ou égal à k, B est définie positive si et seulement si la matrice du système d'équation est
de rang maximal. C'est une condition qui ne dépend que des (et qui n'est pas toujours vérifiée :
ta deuxième conjecture est fausse mais elle est "génériquement" vraie : dans l'espace des , ceux qui sont
"mauvais" sont de mesure nulle (ils forment même un fermé de Zariski)).

[inviteace408b7]

Salut !

Je viens de me pencher sur ta réponse, et te remercie vivement car c'est très clair. J'ai donc repris tes calculs et les confirme. Cela m'a donné envie d'introduire les notations suivantes :

-

-

-

Es-tu d'accord que le système en question est alors :



N'y a-t-il alors pas moyen d'obtenir des conditions explicites sur les ?

A-t-on : plus l est grand, plus il est "improbable" que la matrice ne soit pas de rang plein ?

Peut-on conclure en sachant que les sont construits par un processus aléatoire ?

Merci encore pour ta démo. C'était moins trivial que je pensais finalement.

[inviteace408b7]

Juste pour que ce soit plus clair :