Ecrire cos(3x)sin(2x) en fonction de puissances de cos(x),sin(x)

[inviteaaa7f8ba]

Bonjour .

J'ai un devoir maison à rendre pour lundi mais je ne sais pas si je l'ai bien fait.
Veuillez vous me le corriger s'il y a des erreurs .

Enoncé: Ecrire cos(3x)sin(2x) en fonction de puissances de cos(x),sin(x)

Je l'ai fait en 3 manieres mais je ne sais pas laquelle est la bonne.


1



cos(3x)sin(2x)= [cos(x)+isin(x)]³ * [cos(x)+isin(x)]²
= [cos(3x)+isin(3x)] * [cos(2x)+isin(2x)]

=[cos³(x) -3icos²(x)sin(x)-3cos(x)sin²(x) -isin³(x)] *[cos(x) +2icos(x)sin(x)-sin²(x)]

=[cos³(x) -3cos(x)sin²(x)] * 2icos(x)sin(x)

sin²(x)=1-cos²(x)


=[cos³(x) -3cos(x)(1-cos²(x))] * 2icos(x)sin(x)

=[cos³(x) -3cos(x)+3cos³(x)] * 2icos(x)sin(x)

=[4cos³(x) -3cos(x)] * 2icos(x)sin(x)

=8isin(x)cos⁴(x)-6isin(x)cos²(x)



2

Notre prof nous a donné un indication : cos(3x) = Re ( e^i3x ) = Re ( e^ix)³ = Re ( cos(x) + isin(x) )³


Puis moi j'ai continué en developant

Re( cos(3x) + isin(3x) ) = Re( 2cos³(x) -cos(x) -2sin²(x)cos(x)) + i(4sin(x)cos²(x) -sin(x) ) )
= Re( 2cos³(x) -cos(x) -2sin²(x)cos(x) +4isin(x)cos²(x) -isin(x)

J'ai developpé pareil le sin(2x)

A la fin en multipliant le cos(3x)sin(2x) j'ai eu quelque chose d'enorme .


3


cos(3x)=cos(2x+x)= cos2x.cosx - sin2x.sinx = (2cos²x-1).cosx - 2sin²x.cosx = 2(cosx)^3 -cosx -2sin²x.cosx

sin2x = 2sinxcosx

donc cos(3x)sin(2x) = (2(cosx)^3 - cosx -2sin²x.cosx).2sinxcosx = 4sinx(cosx)^4 -2sinx.(cosx)² -4(sinx)^3.cos²x



Donc dites moi s'il vous plait laquelle est la bonne reponse ???


Merci.
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[invite5161e205]

La méthode 1 comporte une erreur dès le départ :
cos(3x)sin(2x)= [cos(x)+isin(x)]^3 * [cos(x)+isin(x)]^2 n'est pas exact,
exp(3ix)exp(2ix)= [cos(x)+isin(x)]^3 * [cos(x)+isin(x)]^2
donc le résultat n'est pas correct

Le principe de la méthode 2 est bon, c'est même le plus simple, mais il fallait simplement élever cos(x)+i.sin(x) au cube par
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

La méthode 3 n'est pas la plus directe mais est correcte, et le résultat est bon à la fin.

Il est à noter que l'énoncé est un peu vague car on peut exprimer cos(3x)sin(2x) de différentes manières avec des puissances de cos et sin
En effet, on peut même l'exprimer uniquement en fonction de puissances de sin en remplaçant les cos^2 par 1-sin^2

[inviteaaa7f8ba]

Le principe de la méthode 2 est bon, c'est même le plus simple, mais il fallait simplement élever cos(x)+i.sin(x) au cube par
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Pouvez vous me dire s'il vous plait, pour le sin(2x) est ce qu'on fait Re(e^i2x) ou Im(e^i2x) ????

[invite5161e205]

sin(2x) = Im (cos(2x) + i. sin (2x) ) = Im (e^(2ix))

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaaa7f8ba]

sin(2x) = Im (cos(2x) + i. sin (2x) ) = Im (e^(2ix))

D'accord. Merci beaucoup..

J'ai aussi ouvert un autre discussion sur un répresentation graphique d'un sous-ensemble complexe.. peux-tu y jeter un coup d'oeil s'il te plait ???