Salut,
Comment comprendre de manière intuitive l'adhérence et l'intérieur lorsqu'on se place sur l'algèbre?
Comment montrer que l'intérieur de l'ensemble des matrices nilpotentes est l'ensemble vide?
Quelle est l'adhérence et l'intérieur des ensembles
Dernière question : quel est le cardinal de l'ensemble des matrices diagonalisables de
Merci de votre aide
Bonjour,
Qu'est ce que
Enfin est ce que tu connais le cardinal de GL(n, Z/pZ), cela repond facilement a ta seconde question.
Salut,
Pour le cardinal de
Ok, dans ce cas il ne devrait pas t'etre trop dur de montrer que Sn+ est fermé dans Sn (ou dans Mn ce qui revient au meme), en l'ecrivant par exemple comme l'intersection des f_X^{-1}([0,+oo]) pour tous les X, où f_X(M)=X^TMX pour M une matrice symétrique.
Il devrait aussi etre facile de prouver que Sn++ est ouvert et dense dans Sn+.
D'autre part un sous espace vectoriel d'un espace norme E, est d'interieur vide s'il n'est pas égal à E.
Pourquoi ça?Envoyé par MiPaMa
Je n'ai pas vraiment compris votre explication... Et comment montrez-vous votre dernière proposition?
Auriez-vous des réponses à apporter concernant les trois autres questions?
Merci de votre aide
Cela revient au meme parce que Sn est fermé dans Mn.
L'interieur des matrices nilpotentes est vide parce que tout boule dans Mn contient une matrice inversible (si M est une matrice de ta boule alors M-tI est aussi dans la boule pour t petit mais il n'y a qu'un nombre fini de t pour les quel cette matrice est non inversible).
Pour la derniere propsition si V est un sev de E et contient une boule de E, alors en dilatant cette boule suffisament tu englobe n'importe quel vecteur de E.
Ok merci ! Et pour le cardinal des matrices diagonalisables ?
Ben une matrice diagonalisable c'est une matrice qui se met sous le forme PDP^{-1} où P est inversible et D diagonale, tu connais le cardinal des matrices inversibles et celui des matrices diagonale est facile à calculer, il ne te reste plus qu'a comprendre quand est ce que PDP^{-1} peut etre diagonale (par exemple si D=0, alors PDP^{-1}=0 pour tout P inversible, et donc tu vas la compter plusieurs fois) pour avoir la réponse.
Tu peux aussi choisir la base de vecteur propres puis les valeurs propres, ca revient au meme d'ailleurs.
Je n'ai pas vraiment compris pourquoi il n'y a seulement que pour D une homothétie qu'on comptera plusieurs fois la même matrice ?
Une matrice diagonalisable c'est une matrice M qui s'ecrit PDP^{-1}, ok?
Pour compter les matrices M tu peux compter les couples (D,P).
Maintenant à deux couples (D,P) differents il peut correspondre la meme matrice M, dans ce cas PDP^{-1}=QD'Q^{-1}, tu ne veux pas compter les couples (P,D) et (Q,D') comme deux matrices differents, il faut donc que tu te demandes quand est ce que PDP^{-1}=QD'Q^{-1}, ce qui revient à se demander quand est ce que Q^{-1}PD(Q^{-1}P}^{-1}=D' où encore quand est ce que P'DP'^{-1} est diagonale pour D diagonale et P' inversible.
Pas bête du tout j'ai compris, merci beaucoup, et pour ma première (et dernière) question ?
Sur la compréhension inuitive?
Je ne sais pas trop quoi te répondre, personellement je n'ai pas une intuition differente par rapport à un espace normé quelconque.
