topologie

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aimerai avoir une correction de mes réponses sur cet exo:
SoitP_h le plan d'horizontal z=h, P_h={(x,y,z) dans R^3:z=h}, h dans R
Pour un sous ensemble de A de R^3 on pose h(A)=sup{z dans R: A inter Pz non vide}

1)Calculer h(B) où B est la boule ouverte centrée en (1,2,3) et de rayon 4, pour la norme ||.||₁. Déterminer B inter P_h(B)

voici mes réponses:
{z dans R: B inter Pz non vide}=ad(B) avec ad(B) l'adhérence de B
donc h(B)={(x,y,z) dans R^3: |x-1|+|y-2|+|y-3|=4}
de même j'ai trouvé B inter P_h(B)={(x,y,z) dans R^3: |x-1|+|y-2|+|y-3|=4}

2) Soit C={(x,y,z) dans R^3: (1+|x|+|y|)z<=|x|+|y|}. C est-il ouvert?fermé?compact?
calculer h(C) puis déterminer C inter P_h(C)

mes réponses:
C est fermé non compact
h(C)={z dans R,z=1}
C inter P_h(C)={(x,y,z) dans R^3: (1+|x|+|y|)z=|x|+|y|}

qu'en pensez vous?


merci de votre aide
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[invite57a1e779]

{z dans R: B inter Pz non vide}=ad(B) avec ad(B) l'adhérence de B

L'égalité n'a aucun sens :

– le premier membre est un sous-ensemble de R, plus précisément l'ensemble des nombres réels z tels que...
– le second membre est un sous-ensemble de R³, plus précisément la boule fermée de même centre et de même rayon que B.

2) Soit C={(x,y,z) dans R^3: (1+|x|+|y|)z<=|x|+|y|}. C est-il ouvert?fermé?compact?

C est fermé non compact

Qu'est-ce qui t'a conduit à ce résultat ?

[invite371ae0af]

pour C:
j'ai pris la fonction f(x,y)=(1+|x|+|y|)z-|x|-y
elle est continue donc l'image réciproque est un fermé
pour voir s'il est borné ou non: x et y ne sont pas majorés donc on peut les prendre aussi grand que l'on souhaite