P-topologie

invite769a1844 · 21/03/2008, 13h31

Bonjour,

Soit $\text{[math]}$ un espace vectoriel, et soit $\text{[math]}$ une famille, finie ou infinie de semi-normes sur $\text{[math]}$ . Désignons par $\text{[math]}$ la $\text{[math]}$ -boule ouverte de centre $\text{[math]}$ et de rayon $\text{[math]}$ .

On appellera $\text{[math]}$ -boule ouverte de centre $\text{[math]}$ toute intersection finie de $\text{[math]}$ -boules ouvertes de centre $\text{[math]}$ .

La considération du cas particulier où les éléments de $\text{[math]}$ sont les multiples $\text{[math]}$ (où $\text{[math]}$ ) d'une semi-norme $\text{[math]}$ montre qu'on ne peut pas parler du rayon d'une $\text{[math]}$ -boule.

J'ai du mal à comprendre la dernière phrase, pourquoi la notion de rayon est hors de propos pour les $\text{[math]}$ -boules à cause de cette famille.

Merci pour vos réponses.

**Garf** · 21/03/2008, 16h59

Dans ce cas particulier (famille de semi normes linéairement liées) : il existe x non nul, p(x)=0.
Alors x appartient à toute p_i-boule ouverte de centre 0 quelque soit i. x appartient donc à toute p-boule.
De même pour k*x, k réel. Donc vect(x) est inclu dans toute p-boule non vide de centre 0. Dans un espace de dimension finie, des points arbitrairement éloignés de 0 pour la norme usuelle seraient dans toute boule...

Comment définis-tu le rayon d'une boule, dans ce cas ?

invite769a1844 · 21/03/2008, 19h52

Envoyé par Garf

Dans ce cas particulier (famille de semi normes linéairement liées) : il existe x non nul, p(x)=0.
Alors x appartient à toute p_i-boule ouverte de centre 0 quelque soit i. x appartient donc à toute p-boule.
De même pour k*x, k réel. Donc vect(x) est inclu dans toute p-boule non vide de centre 0. Dans un espace de dimension finie, des points arbitrairement éloignés de 0 pour la norme usuelle seraient dans toute boule...

Comment définis-tu le rayon d'une boule, dans ce cas ?

ok je saisis un peu mieux, merci Garf.

invite769a1844 · 10/05/2008, 00h23

Bonsoir,

je reprends les $\text{[math]}$ -topologies (apparemment ça s'appelle aussi espace localement convexe) et il y a un point qui me pose problème:

On a auparavant montré cette proposition:

Proposition: Soit $\text{[math]}$ une base de filtre sur un espace vectoriel $\text{[math]}$ muni d'un $\text{[math]}$ -topologie. Dire que $\text{[math]}$ converge vers un point $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ équivaut à dire que,
pour tout $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ .

Ensuite on définit la convergence uniforme compacte:

Soit $\text{[math]}$ un espace topologique séparé; pour tout compact $\text{[math]}$ , toute $\text{[math]}$ est bornée sur $\text{[math]}$ ; donc si l'on pose:

$\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ est une semi-norme sur $\text{[math]}$ . La $\text{[math]}$ -topologie définie sur $\text{[math]}$ par la famille des $\text{[math]}$ s'appelle topologie de la convergence uniforme sur tout compact. Pour toute $\text{[math]}$ , il existe un compact $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , donc cette topologie est séparée..

D'après la proposition précédente, si $\text{[math]}$ est une famille d'éléments de $\text{[math]}$ et si $\text{[math]}$ est une base de filtre sur $\text{[math]}$ , dire que pour cette topologie les $\text{[math]}$ convergent vers $\text{[math]}$ suivant $\text{[math]}$ signifie que, pour tout compact $\text{[math]}$ , les $\text{[math]}$ convergent uniformément vers $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .

Là je ne vois pas du tout le lien avec la proposition.

Dans la proposition, c'est la base de filtre qui converge, et elle est définie sur l'espace vectoriel.

Tandis qu'ici c'est une famille de fonctions qui convergent suivant la base de filtre, et la base de filtre est définie sur l'ensemble d'indices.

Merci pour vos réponses.

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