Convexes et hyperplans de R[X]

[Bleyblue]

Bonjour,

Dans je recherche un convexe propre qui n'est contenu dans aucun demi-espace.

Les demi-espaces étants définis à partir des hyperplans (affins) j'ai besoins de savoir à quoi ces derniers ressemblent. Vous auriez une idée ? Ca ne me semble pas évident comme ça ...

merci
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[invite2c3ff3cc]

convexe propre qui n'est contenu dans aucun demi-espace.

Une boule unité pour une norme au pif ?? Elle est convexe et "isotrope" donc contenu dans aucun 1/2 espace.

[invite57a1e779]

Une boule unité pour une norme au pif ?? Elle est convexe et "isotrope" donc contenu dans aucun 1/2 espace.

Une boule, étant bornée, est contenue dans un demi-espace.
Par exemple la boule unité pour la norme "sup des valeurs absolue des coefficients du polynôme" est contenue dans le demi-espace

[invite35452583]

Autant chercher un semi-espace puisque ceux-ci sont maximaux dans les sous parties convexes propres.
Donc à montrer que C={P ; le coefficient de plus haut degré>0} est :
i) convexe propre (c'est facile) ;
ii) pour toute application affine f : R[X]->>R non triviale il existe un point x de C et un point x' de C tel que f(x)>0>f(x').

Les points de l'espace affine et les vecteurs seront notés (abusivement mais on peut s'y retrouver) de la même manière par la suite :
Pour ce point ii), on peut procéder ainsi :
on utilise le fait que où est l'application vectorielle induite par f. Et, on considére la famille de points de C où est non nul puis de faire tendre x vers +infini puis vers -infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ok je vais essayer de mettre ça en forme sur papier

merci bien !