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Fonctions Convexes



  1. #1
    invite43219988

    Fonctions Convexes


    ------

    Bonjour !
    Suite à l'inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique vues dans un post de God's Breath dans le topic "Enigme équation", je me suis demandé comment démontrer cette inégalité.
    La convexité de l'exponentielle nous permet par exemple de nous en sortir.
    Et puis je me suis dis : "on sait que la fonction exponentielle est convexe car sa dérivée seconde est strictement positive."
    Puis là je me suis demandé comment démontrer cette propriété de dérivée seconde avec la définition de la convexité.
    Là j'ai vu entre autre le lemme des 3 cordes dont je n'ai trouvé aucune démonstration et puis avant d'abandonner, j'ai regardé un cours où il est d'abord donné une définition simple de la convexité à partir de deux points seulement, puis on peut l'étendre en une définition générale pour un nombre quelconques de points par récurrence.
    Je me suis souvenu que j'avais deja du avoir à faire à cet exo mais je N'Y ARRIVE PAS RHAAAA.
    Comment montrer que si f(ax+by)<=af(x)+bf(y), alors
    f(ax+by+cz)<=af(x)+bf(y)+cf(z) avec a et b, puis a b et c qui vérifient l'hypothse du théorème bien entendu, ie leur somme vaut 1.

    Merci....

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Fonctions Convexes

    Puisque a, b et c sont positifs ou nuls, de somme 1, l'un des trois, a par exemple, est non nul, et a+b itou.
    Je pose donc
    de telle sorte que :
    et
    .

    Et en reprenant la majoration de :

  4. #3
    invite43219988

    Re : Fonctions Convexes

    Merci bien

  5. #4
    God's Breath

    Re : Fonctions Convexes

    Pour comparer les moyennes arithmétiques et géométriques, on peut se passer de la convexité, et user de moyens très élémentaires.
    En suivant Harsy, Littlewood et Pólya, dans leur Inequalities :

    -1. Pour deux éléments, on immédiatement car .

    2. Pour trois éléments, on introduit la moyenne arithmétique . Alors :
    et, de même, et
    , soit .

    Finalement et .

  6. A voir en vidéo sur Futura

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